В ЕГЭ по математике и базового, и профильного уровней есть задания на решение уравнений различных типов: рациональные, иррациональные, логарифмические, показательные и тригонометрические уравнение.
Одни из этих уравнений имеют стандартный алгоритм решения, например линейные, квадратные, простейшие логарифмические и т.д. Другие же уравнения, в свою очередь делятся на подвиды и учащимся при решении таких уравнений трудно выбрать метод решения, соответствующий тому или иному уравнению. Именно такая ситуация возникает при изучении тригонометрических уравнений. Учащимся нетрудно определить тип уравнения по наличию в нем тригонометрических функций, то есть установить, что уравнение является тригонометрическим. Затруднения возникают на этапе решения, когда необходимо определить последовательность действий, которые приведут к правильному ответу [1].
Тригонометрические уравнения бывают разных видов, каждые из которых имеют свою специфику и методику решения. Не зная вида уравнения, ученику трудно выбрать соответствующий метод решения, а также нужную формулу из десятков тригонометрических формул [2].
Авторы научно-методической литературы по тригонометрии приводят классификации тригонометрических уравнений, методы и алгоритмы их решения. Например, Эдиева Ж.Х. рассматривает возможности применения опорных схем для визуализации материала при решении тригонометрических уравнений, такая работа с информацией поможет структурировать материал и устранить пробелы в знаниях учащихся. Автор указывает, что обучающимся не нужно заучивать формулы и значения тригонометрических функций, а необходимо понимать и применять единичную окружность при решении тригонометрических уравнений [3].
Некоторые авторы приводят частные случаи решения тригонометрических уравнений. Стоит отметить, что Дубкова А.А. подробно рассматривает возможности решения однородных уравнений второй степени в общем виде с переходом на решение тригонометрических уравнений такого типа [2].
Данилова Н.А. и др. в свою очередь рассматривают следующую классификацию уравнений см. Таблицу 1.
Таблица 1. Классификация тригонометрических уравнений
|
№ |
Название вида уравнения |
Пример |
|
1 |
Простейшие тригонометрические уравнения |
|
|
2 |
Уравнения, приводимые к квадратным |
|
|
3 |
Однородные тригонометрические уравнения |
|
|
4 |
Уравнения, приводящиеся к однородным |
|
|
5 |
Неоднородные уравнения первого порядка |
|
|
6 |
Уравнения, решаемые путем преобразований с помощью тригонометрических формул |
|
|
7 |
Уравнения, приводящие к виду |
|
Данилова Н.А. и др. также приводят в своей статье алгоритм решения тригонометрического уравнения методом замены переменной, который состоит в следующем:
1. Привести уравнение к виду, содержащему одну тригонометрическую функцию с одинаковым аргументом.
2. Ввести замену, обозначив полученную функцию переменной t (если требуется, то ввести ограничения на новую переменную t).
3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение относительно переменной t. Выбрать из полученных решений те, которые удовлетворяют введенным ограничениям для t.
4. Произвести обратную замену.
5. Решить полученное простейшее тригонометрическое уравнение, записать ответ [1].
Рассмотрим применение метода замены переменной при решении тригонометрических уравнений.
Метод замены переменной упрощает решение, позволяет достаточно просто решить некоторые из тригонометрических уравнений.
Список литературы
- Данилова, Н. А. Классификация тригонометрических уравнений и методов их решения / Н.А. Данилова, В.Ю. Литвинова, А.Р. Сабралиева, Р.Х. Энгамова // Наука, образование, общество: актуальные вопросы, достижения и инновации: сборник статей II Международной научно-практической конференции, Пенза, 23 июня 2021 года. – Пенза: Общество с ограниченной ответственностью "Наука и Просвещение", 2021. – С. 111-114.
- Дубкова, А. А. Однородные уравнения второй степени в заданиях ЕГЭ / А.А. Дубкова, Г. Г. Биккулова // Проблемы и достижения современной науки. – 2017. – № 1(4). – С. 21-23.
- Эдиева, Ж. Х. Тригонометрические уравнения: подготовка к ЕГЭ / Ж.Х. Эдиева // Известия Чеченского государственного педагогического университета Серия 2. Естественные и технические науки. – 2020. – Т. 19. – № 1(22). – С. 151-161.
