Различные подходы к введению понятия комплексного числа в школьном курсе математики

Числовая линия на протяжении истории непрерывно развивалась вместе с человеком: от появления натуральных чисел, используемых для простейшего пересчета предметов, до развития математической теории числа в XIX веке.

Понятие числа можно назвать одним из основополагающих в математике. Невозможно представить изучение любого раздела математики без использования числовых множеств и их свойств.

Сейчас линия числа является одной из основных содержательно-методических линий школьного курса математики. Ее изучение строится на идее расширения числовых множеств и имеет следующие цели:

- осмысление числа как основного объекта математики, истории развития числа;

- демонстрация идеи расширения числовых множеств, их свойств;

- иллюстрация идеи алгебраических структур;

- знакомство с системами счисления, теорией делимости;

- воспитание вычислительной культуры.

Вместе с этим возникает закономерный вопрос: каким образом преподносить школьникам расширение числовых множеств? Мнения на этот счет расходятся, но можно выделить два основных пути.

В учебниках А.П. Киселева предлагается вводить новое множество путем установления изоморфизма: дано множество A, множество B вводится, как новое множество, затем некоторое его подмножество отождествляется с множеством A.

У Н.Я. Виленкина множество Aдополняется новыми числами и таким образом получается расширенное множество.

Определяют следующие общие принципы, которым следует уделить внимание при расширении числовых множеств:

- принцип перманентности – Aявляется подмножеством B, арифметические операции и отношения, имеющие смысл в A, определены и в B, но при этом во множестве B выполнима операция, невыполнимая или не всегда выполнимая в A;

- операторное истолкование числа – один из компонентов действия играет активную роль, а второй – пассивную;

- наличие синтаксического и семантического аспектов числа. [Подходова 2020]

С первым расширением понятия числа обучающиеся обычно сталкиваются в начальной школе. К этому моменту им уже знакомо множество натуральных чисел N, и к нему добавляется нуль.

Затем, в курсе математики 5-6 классов, имеет место построение множества рациональных чисел. Последовательность расширений множеств в данном случае варьируется.

Потребность в расширении в данном случае мотивируется тем, что операции сложения и умножения на построенном множестве выполняются безо всяких ограничений. А вот при вычитании может возникнуть проблемная ситуация: как вычесть из меньшего числа большее? Чтобы преодолеть данное ограничение, к уже изученному множеству добавляются отрицательные числа.

Аналогично происходит с делением – при делении целого числа на целое число результат часто выходит за рамки установленного множества. Это побуждает изучать обыкновенные и десятичные дроби.

Затем расширяют числовое множество до иррациональных чисел. Обычно это происходит через неизвлекаемые корни положительных чисел (А.П. Киселев), либо иррациональное число рассматривается в качестве бесконечной непериодической десятичной дроби (по Вейерштрассу).

Дальнейшей задачей, которая становится неразрешимой на множестве действительных чисел, является извлечение корня из отрицательного числа. Это служит мотивацией для расширения поля действительных чисел путем присоединения к нему мнимых.

Таким образом вводится понятие комплексного числа. Методические аспекты обучения старшеклассников теме «Комплексные числа» в школьном курсе математики представлены в исследованиях Л.Ю. Сергиенко, 
Ю.А. Глазкова, А.Д. Нахмана, Г.А. Симоновской, М.В. Литвиненко, 
Л.И. Боженовой, Н.А. Данилова, Т.А. Зентиевой, С.И. Новоселова и др. Немаловажны также работы Ю.М. Колягина, А.Г. Мордковича, 
В.П. Покровского в этой области.

Предпосылки к изучению данной темы появляются еще в 7-8 классе, при изучении обучающимися темы «Квадратные уравнения». При их решении возникают ситуации, в которых дискриминант является отрицательным числом. В таком случае считается, что корней, определенных на множестве действительных чисел, не существует, а операция извлечения корня из отрицательного числа не выполняется.

По такой логике строятся рассуждения до момента прохождения в 10-11 классах раздела «Комплексные числа». Стоит также отметить, что данная тема входила в обязательную программу по математике только в период с 30-х по 60-е года, а позже была из нее исключена и рекомендована для изучения на факультативных занятиях.

Таким образом, с сохранением основополагающих принципов, формируется путь линии числа в школьной программе математики, замыкающийся множеством комплексных чисел. 

В методике выделяют два основных подхода к введению понятия «комплексное число».

1-й подход: 

- происходит установление взаимно-однозначного соответствия между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой;

- с привлечением теории геометрии утверждается, что существует взаимно однозначное соответствие между парами чисел и точками координатной плоскости;

- делается вывод, что каждую пару действительных чисел, записанных в определенном порядке, логично рассматривать как некоторое новое число, которое отображается точкой на координатной плоскости;

- устанавливается соответствие между множеством действительных чисел и множеством комплексных чисел;

- формулируется определение комплексного числа;

- формулируются определения мнимого и чисто мнимого числа;

- вводятся понятия действительной и мнимой части комплексного числа;

- определяются действия на множестве комплексных чисел, заданных парами;

- вводится мнимая единица, алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа.

2-й подход:

- вводится мотивационный момент – нахождение корней квадратного уравнения вида x2 = -1;

- введение понятия «мнимая единица»;

- формулируется определение комплексного числа;

- определяются понятия действительной и мнимой части комплексного числа;

- вводятся действия с комплексными числами в алгебраической форме;

- дается геометрическая интерпретация комплексного числа;

- вводится тригонометрическая форма записи и действия с комплексными числами в тригонометрической форме.

Оба подхода имеют как достоинства, так и недостатки. Первый может составлять некоторую сложность в осмыслении, но при этом дает более глубокое понимание концепции комплексного числа. Второй подход придает большую мотивацию, вытекает из уже изученного раздела, но при этом может создать стойкую ассоциацию комплексных чисел с их использованием только при решении квадратных уравнений.

Подобное разделение подходов отражается в различных формулировках понятия «комплексные числа»:

- «Комплексными числами называют выражения вида a + bi, где a и b – действительные числа, а i– некоторый символ, такой, что i2 = -1» [Колягин 2010].

- «Комплексными числами называют упорядоченные пары (a, b) действительных чисел a и b, для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения» [Шабунин 2007].

- «Комплексным числом считают сумму действительного числа и чисто мнимого числа. В записи z = a + bi число a называют действительной частью, а число b  - мнимой частью комплексного числа z» [Мордкович 2009].

- «Число вида a + bi, где a и b– вещественные числа, называется комплексным числом; в нем a называется вещественной частью, bi-  мнимой частью» [Киселев 2005]. 

Подводя итог, можно сказать, что линия числа является одной из основополагающих содержательно-методических линий школьного курса математики. Она охватывает все разделы и постепенно расширяется в процессе обучения. Введение множества комплексных чисел является логичным окончанием изучения линии числа и может осуществляться посредством различных подходов.