Решение логических задач с помощью таблиц истинности в школьном курсе информатики

Таблица истинности представляет собой таблицу, с помощью которой можно задать любую логическую функцию, и которая показывает, чему равно значение логического выражения при всех возможных значениях исходных переменных [2, с. 187].

Для того чтобы построить таблицу истинности логического выражения, необходимо:

1. Подсчитать число переменных в выражении – ;
2. Подсчитать все логические операции в выражении;
3. Установить последовательность выполнения этих операций, учитывая их силу;
4. Определить число столбцов в таблице  (n+число операций);
5. Заполнить cтроку с заголовками столбцов таблицы истинности, занеся в неё имена логических переменных и операций (операции можно обозначить номерами их выполнения);
6. Определить число строк в таблице (кроме её шапки): m=2n-1;
7. Выписать наборы входных переменных, которые представляют собой ряд целых n- разрядных  двоичных чисел от 0 до 2n-1;
8. Записать в таблицу истины данные по столбцам и выполнить логические операции [1, с.29].

Само же построение таблицы истинности по условию задачи и её анализ является одним из универсальных методов решения многих логических задач. Для этого следует:

1. Выделить из условия задачи элементарные высказывания и обозначить их буквами.
2. Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в составные с помощью логических операций.
3. Построить таблицу истинности для полученных логических выражений.
4. Выбрать набор логических переменных (элементарных высказываний), при котором значения логических выражений соответствуют условиям задачи.
5. Проверить, удовлетворяет ли решение условиям задачи [4, с.2].

Тема решения логических задач с помощью таблиц истинности актуальна для школьников разных возрастов. Эта тема рассматривается во многих УМК [1,2,3].

Рассмотрим задачи на применение таблиц истинности.

Задача 1. Аня, Оля и Ева были на зимних каникулах у бабушки. Однажды одна из девочек нечаянно уронила тарелку, и она разбилась. Когда бабушка спросила, кто разбил тарелку, то девочки дали такие ответы:

Ева: 1) Я не роняла. 2) Оля не роняла.

Оля: 1) Ева не роняла. 2) Тарелку уронила Аня.

Аня: 1) Я не роняла. 2) Тарелку уронила Ева.

Бабушка знает, что одна из внучек оба раза сказала правду, другая – оба раза солгала, третья – один раз солгала и один раз сказала правду. Как зовут внучку, которая лжет (шутница), которая говорит правду (правдивая), то лжет, то говорит правду (хитрая). Кто разбил тарелку?

Решение: Пусть А = «Аня уронила тарелку», О = «Оля уронила тарелку», Е= «Ева уронила тарелку». Для решения задачи составим таблицу истинности, где будут ответы девочек. Можно взять только части этой таблица, содержащей такие наборы значений переменных: 001, 010,100, так как кто-то один уронил тарелку (таблица 1).

Таблица 1. Таблица истинности

Ищем в таблице строку, содержащую в любом порядке комбинации значений: 00 (шутница), 11 (правдивая), 10 (хитрая). Выделим эту строку жирным шрифтом. Согласно ней, тарелку уронила Ева, и она же хитрая девочка. Шутница – Оля, правдивая внучка - Аня.

Задача 2. Три женщины А, В, С хотели получить по итогам посевной наибольший урожай. Их мамы сделали следующие прогнозы:

1. Если А получит наибольший урожай, то наибольший урожай получат В и С.
2. А и С получат или не получат наибольший урожай одновременно.
3. Необходимым условием получения наибольшего урожая С является получение наибольшего урожая В.

После сбора урожая оказалось, что один из трех прогнозов оказался ложным, а остальные два истинными. Какие из женщин получили наибольший урожай.

Решение: Пусть А = «А получит наибольший урожай», В = «В наибольший урожай», С = «С получит наибольший урожай». Запишем на языке логики прогнозы мам:

Составим таблицу истинности:

Таблица 2. Таблица истинности

Из трех прогнозов 1 – ложный, 2 – истинные. Это любая комбинация из одного нуля и двух единиц. Выделяем соответствующую этому строку в таблице 2 – это 4 строка.

Ответ: наибольший урожай получили женщины В и С.

Таким образом, в работе был рассмотрен актуальный на данный период времени алгоритм решения логических задач с помощью таблиц истинности в школьном курсе информатики, а также примеры применения этого алгоритма.