МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ

Рассмотрим некоторые распространенные методы доказательства неравенств на конкретных примерах.

Задача 1. Доказать неравенства:

Доказательство.

а) Заметим, что числа  называются средними арифметическим и средним геометрическим чисел a и b соответственно. Рассмотрим разность правой и левой частей:

Таким образом, неравенство доказано. Заметим, что мы также доказали, что неравенство Коши обращается в равенство лишь при 

б) Воспользуемся неравенством Коши для чисел 

Замечание: неравенство о средних справедливо и для n неотрицательных чисел, где n - любое натуральное. А именно:

При этом, аналогично случаю для двух чисел, выражение слева - среднее арифметическое  чисел, а справа - среднее геометрическое.

Докажем аналогичное неравенство для n=4. В общем случае доказательство проходит методом математической индукции.

Будем пользоваться неравенством о средних для n = 2: 

Задача 2.  Докажите, что 2¹⁰⁰+3¹⁰⁰<4¹⁰⁰.

Доказательство: имеем 2¹⁰⁰<3¹⁰⁰. Значит, нам достаточно доказать, что 2∙3¹⁰⁰<4¹⁰⁰  или 

Но

Задача 3. Докажите неравенство:

Доказательство: докажем, что для всех x∈0,1 верно неравенство log₂(x+1)>x

Для этого достаточно показать, что x+1>2^x. Действительно, пусть f(x)=x+1-2^x, тогда f(x)''=-ln²2∙2^x<0, следовательно, f(x) выпукла вверх на отрезке [0,1]. Кроме этого, f(0)=0 и f(1)=1, а это значит, f(x)>x, для всех x∈(0,1), откуда получаем требуемое.

Так как  то, применяем доказанное неравенство, получим

Бывают задачи несколько другого плана. 

Задача 4. Без использования вычислительных средств выяснить, какое число больше:

Решение. Сравним эти два числа, вычислим их разность

Введем в рассмотрение функцию с областью определения 

Тогда величина  Функция f(x) - убывающая на  так как

Имеем  отсюда вытекает, что величина  или

Помимо требуемого числового неравенства, здесь доказано более общее утверждение, если выбрать область определения функции f(x) на интервале (-1,+∞), то доказано, что

ln(1+x)≤x

при x∈(-1,+∞), причем равенство будет иметь место при x=0. Если ввести переменную t=1+x, то неравенство можно записать в виде

при t∈(0,+∞) и равенство будет только при t=1.

Задача 5. Что больше 

Решение. Введем в рассмотрение функцию

Тогда исходная задача сводится к сравнению двух значений функции f(1988) и f(1987).

Проверим монотонность функции

для чего найдем ее производную

при x>0. Функция f(x) возрастает при x>0 , следовательно

и

Задача 6. Доказать неравенство

Доказательство. Прологарифмируем обе части этого неравенства:

Используя неравенство ln(1+x)<x, x>-1, при желании его можно доказать одним из описанных выше методов, получим