КВАЗИКОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ

Начнем с понятия квазициклической группы. Пусть р – простое число. Через C_pⁿ, как и обычно, будем обозначать множество всех комплексных корней из 1 степени рⁿ, где n = 1, 2, … Хорошо известно, что множество Cpⁿ является конечным и состоит из pⁿ элементов. Относительно операции умножения комплексных чисел — это множество является группой. Эта группа конечна и имеет порядок pⁿ.  Если  х ∈ C_pⁿ , то = 1  и тогда  , то есть х ∈ C_pⁿ⁺¹. Поэтому C_pⁿ ⊆ C_pⁿ⁺¹, и мы получаем бесконечную возрастающую по включению последовательность групп

                                                                     C_p⁰ ⊆  C_p¹ ⊆  C_p² ⊆ …                                                               (1)

Обозначим через C_p^∞ объединение всех групп этой последовательности. Множество C_p^∞ является группой относительно операции умножения комплексных чисел. Она называется квазициклической группой типа р^∞.[1]

 

Рассмотрим собственные подгруппы группы C_p^∞. Напомним, что подгруппа группы G называется собственной подгруппой, если она не совпадает с группой G. Хорошо известно, что любая собственная подгруппа группы Cp^∞ совпадает с одной из подгрупп C_pⁿ, где n = 0, 1, 2, … Таким образом, квазициклические группы бесконечны, но все их собственные подгруппы конечны. Это свойство квазициклических групп лежит в основе следующего определения. [3]

 

Будем называть группу G квазиконечной, если она бесконечна, но все её собственные подгруппы конечны. [1]

 

Простейшими примерами квазиконечных групп являются квазициклические группы. Существуют также и другие примеры квазиконечных групп.

 

Примеры квазиконечных групп встречаются как среди абелевых групп, так и среди неабелевых. Напомним, что группа G называется абелевой, если для любых элементов х и у группы G имеет место равенство ху = ух.

 

Как отмечалось выше, примерами абелевых квазиконечных групп являются квазициклические группы; причём хорошо известно, что других примеров абелевых квазиконечных групп не существует, т.е. имеет место следующая теорема.

 

Теорема 1. Любая абелева квазиконечная группа является квазициклической.

 

Доказательство этой известной теоремы (и даже более общего утверждения) приводится в настоящей работе (см. ниже теорему 3).

 

Долгое время оставался открытым вопрос о том, существуют ли квазиконечные группы среди неабелевых групп. Этот вопрос известен, как проблема О.Ю. Шмидта. Она была решена в 1980 г. А.Ю. Ольшанским – он построил пример бесконечной неабелевой группы, в которой все собственные неединичные подгруппы конечны и имеют один и тот же фиксированный простой порядок р. Эта группа имеет очень сложное строение и получила названия монстра Тарского – Ольшанского. Результат Ольшанского относится к числу наиболее знаменитых и выдающихся результатов теории групп.

 

С понятием абелевой группы тесно связано определение коммутанта.

 

Коммутантом группы G называется её подгруппа G′, порождённая коммутаторами её элементов. Коммутатором элементов a и b группы G называется элемент [a,b] = a^-1b^-1ab.

 

Коммутант G′ группы G может совпадать с единичной подгруппой. Это равносильно тому, что группа G абелева. Если группа G не абелева, то 1 ≤  G′ ≤ G, то есть коммутант занимает некоторое промежуточное положение между 1 и G. Возможна «крайняя ситуация», когда G′ = G – это случай, когда группа по своим свойствам наиболее далека от абелевых групп.

 

В настоящей работе решается следующая задача: исследовать вопрос о том, каким может быть коммутант квазиконечной группы.  Эта задача решена в работе следующим образом.

 

Теорема 2. Пусть G – квазиконечная группа. И пусть G′ - коммутант группы G. Тогда либо G′ = 1, либо G′ = G.

 

Как уже отмечалось выше, условие G′ = 1 равносильно тому, что группа G является абелевой. Поэтому из теоремы 2 вытекает следующее утверждение.

 

Следствие 2.1. Пусть G – неабелева квазиконечная группа. И пусть G′ - коммутант группы G. Тогда G′ = G.

 

Замечание. Отсюда следует, что любой монстр Тарского-Ольшанского совпадает со своим коммутантом.

 

Доказательство теоремы 2 является одной из целей данной работы. Кроме того, в работе доказаны и некоторые другие утверждения о квазиконечных группах. Так, например, доказано следующее обобщение теоремы 1.

 

Теорема 3. Любая разрешимая квазиконечная группа является квазициклической.

 

Эта теорема обобщает теорему 1, так как любая абелева группа является разрешимой. Группа G называется разрешимой, если существует натуральное число n такое, что n-й коммутант группы G совпадает с единичной подгруппой. Напомним, что n-й коммутант группы G строится по индукции следующим образом. Пусть G′ - коммутант группы G. Коммутант группы G′ называется вторым коммутантом группы G и обозначается через G′′. Коммутант группы G′′ называется третьим коммутантом группы G и обозначается через G⁽³⁾. Продолжая эти построения, на n-м шаге мы получим n-й коммутант группы G. Он обозначается через G⁽ⁿ⁾.       

 

Лемма 1. Пусть G – произвольная группа, H – конечная нормальная подгруппа группы G, X – множество всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом группы H. Тогда индекс [G : Х] конечен.

 

Лемма 2. Пусть G – квазиконечная группа, H – конечная нормальная подгруппа группы G, X – множество всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом группы H. Тогда Х = G. Иными словами, каждый элемент из H перестановочен с любым элементом из G.

 

Доказательство. Допустим от противного, что Х не совпадает с G. Тогда по определению квазиконечной группы подгруппа Х конечна. С другой стороны по лемме 1 индекс [G : Х] конечен. Так как Х конечна и индекс [G : Х] конечен, то и группа G (как легко видеть) конечна. Но это невозможно, так как по определению любая квазиконечная группа бесконечна.

 

Лемма доказана. [3]