Уравнения в производных часто имеют место в фантомах финансовой динамики, в которых анализируются не только взаимосвязь переменных от времени, а и от их взаимосвязи во времени. Такими фантомами являются: копия Эванса — принятие уравновешенной стоимости на рынке одного продукта; а также динамический фантом финансового роста, известная под названием «стандартная копия Солоу».
В фантоме Эванса представлен рынок одного продукта, время является непрерывным. Пусть d(t), s(t), p(t) — спрос, предложение и цена соответственно данному продукту на момент времени t. Предположим, что спрос и предложение являются линейными зависимостями цены, то есть d(p)=a-bp, a, b>0 — спрос с увеличением стоимости снижается, а s(p)=a+bp, где a, b>0 — предложение с прогрессированием цены увеличивается. Естественным имеет место соотношение а> 0, то есть при нулевой стоимости спрос опережает предложение.
Рассмотрим фантом Эванса закрепления равновесной стоимости на рынке одного продукта с постоянным временем t. Если спрос и предложение являются линейными прямыми цены p, то динамика стоимости представляется следующими уравнениями:
где – цена товара в момент времени t.
Считаем, что — предложение с поднятием цены растет; — спрос с ростом стоимости снижается. Кроме того, нужно считать — при нулевой стоимости спрос превышает предложение.
Главное предположение фантома состоит в том, что изменение стоимости пропорционально опережению спроса над предложением:
Согласно данной гипотезе отношение потребителей и производителей происходит таким образом, что отражающая это отношение стоимость непрерывно адаптируется к положению на рынке: в случае увеличения спроса над предложением — повышается, в противоположном случае — снижается.
Составим следующее уравнение в производных относительно цены:
Данное уравнение содержит одну стационарную точку:
Стоимость равновесия — абсцисса точки взаимодействия прямых спроса и предложения, т.е. при такой стоимости спрос отождествляется предложению.
Условие равновесия состоит в том, что предложение услуг приравнивается спросу на услуги E:
В копии Кейнса спрос на товары Е находит уровень занятости L, в отличие от стандартной модели, в которой действительная заработная плата, как отношение ставки заработной платы к цене продукта (w/p) , задавала число занятых.
В фантоме Кейнса равновесие на рынке услуг достигается при равенстве желаемого спроса и фактического предложения:
Фантом Солоу заключается в следующих уравнений, характеризующих экономическую динамику.
1.Количество предложения на рынке благ описывается производственной функцией с постоянной отдачей от масштаба:
Yt = F(Kt, L t)
для любого положительного Z верно:
Z Yt = F (ZКt, ZLt)
Предположим, что, тогда получим:
Yt/Lt = F(Kt/Zt,1), (3)
где Yt/Lt — производительность (у); Kt/Zt — капиталовооруженность (фондовооруженность) (k).
Уравнение (3) доказывает, что количество производства в расчете на одного сотрудника является задачей имущества на одного сотрудника.
В заключение хотелось бы выделить важную роль дифференциальных уравнений при решении большинства прикладных задач, так как довольно не всегда удается получить линейную функциональную зависимость между желаемыми и данными переменными величинами, но зато получается вывести уравнение в производной, помогающее с наибольшей вероятностью описать течение определенного процесса при конкретных условиях.
Список литературы
- Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисление», Москва, 1985.
- Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1993.
- Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1978.