Анализ и концепция способа Ньютона

В представленной теме анализируется решение  задачи  способом Ньютона.

Во первых, рассмотрим этап о границах существующих корней.

Выделяют часть способов их нахождения. Выделим основные.

Имеем полином   степени   пусть   будет верхней границей его положительных корней. Представим полиномы:

и вычислим верхние пределы их неотрицательных корней; допустим это будут соответственно числа  ,  ,  . Тогда все неотрицательные корни полинома   соответствуют неравенствам  , все отрицательные корни   неравенствам 

Для нахождения верхнего предела положительных корней можно использовать способ Ньютона.

Рассмотрим полином  с действительными коэффициентами и неотрицательным старшим коэффициентом   Если при   многочлен   и все его последовательные производные   принимают положительные значения, то число   служит верхним пределом корней.

Пример. Используем способ Ньютона  к многочлену  . Мы имеем:

Данные полиномы неотрицательны при  , что можно определить хотя бы схемой Горнера. Отсюда следует ,что  число   есть верхний предел положительных корней многочлена  .

Рассмотрим полином   для определения нижнего предела отрицательных корней исходного полинома   (мы берем   вместо   потому, что для использования способа Ньютона старший коэффициент должен быть неотрицательным, на корни полинома   эта перемена знака не оказывает никакого влияния). Так как

а данные полиномы больше нуля при  , то число   служит верхним пределом неотрицательных корней для  , и поэтому число   будет нижним пределом отрицательных корней для  .

Анализируя, полиномы

мы определим для них, используя способ Ньютона, в качестве верхнего предела неотрицательных корней соответственно числа 1 и 4, а поэтому нижним пределом положительных корней полинома   служит число  , верхним же пределом отрицательных корней   число  .

Следовательно, неотрицательные корни полинома   заключены между числами   и  , отрицательные корни   между числами   и  . 

Заключение

Таким образом, система Штурма многочлена   теряет по одной перемене знаков при переходе   от   к   и от   к  . Корни   и   этого многочлена удовлетворяют, следовательно, неравенствам: