Уравнение свободного падения

АПОЛОГИЯ РЁМЕРА

В «Началах» [1] дано определение. Математическое время по Ньютону абстрактно, абсолютно, и не меняет темпа своего хода во всём пространстве.

Главное в [1] – решение задачи двух тел, с чего и берёт начало классическая теоретическая механика.

В современных курсах теоретической механики задача двух тел сводится к двумерной задаче для приведённой массы, движущейся под действием тяготения от неподвижного центра с суммарной массой этих частиц [5]:

𝜇=𝑚1𝑚2𝑀 , 𝑀= 𝑚1+ 𝑚2, здесь μ – приведённая масса.

Две материальные точки с массами m1 и m2 на расстоянии R друг от друга до начала наблюдений неподвижны.

В момент начала наблюдений τ=0 удерживающие их связи исчезают. Они начинают движение под действием тяготения к центру с начальными скоростями, заданными начальными условиями.

Решения этой задачи дают все наблюдаемые траектории и орбиты, если пренебречь влиянием третьих тел.

Светящиеся точки лежат в основе понятия материальной точки в аналитической механике [3]. Сам Ньютон этого в своих «Началах» не сформулировал. Не будем путать это с его корпускулами. В его «Началах» дано определение абстрактного математического времени, но не показана его связь со временем наблюдателя.

Решения Ньютона для задачи Кеплера свелись к доказательству геометрических теорем. Наблюдатель у него отсутствовал.

Ньютон был первым, кто обошёлся без наблюдателя [4].

Мы решили учесть задержки, вызываемые конечностью скорости движение света, поэтому вернём в задачу и наблюдателя. Поместим его в начале координат.

Решения Ньютона – геометрические кривые, определяемые совокупностью всех своих точек сразу, то есть одновременно.

В геометрии понятия времени нет.

Задержку на движение света, показанную Рёмером за 12 лет до публикации «Начал», по Ньютону некому измерять и учитывать. Физическая природа света при этом несущественна. Важна конечность скорости его распространения. В наше время это общепринятый факт. Доказать

это невозможно. Обозначим эту скорость C.

Решим одномерную задачу двух тел с начальными условиями:

При 𝜏=0 𝑟=𝑅 , 𝑟̇=0.

Требуется найти время движения до встречи и скорость соударения.

По третьему закону Ньютона имеем

𝜇𝑟̈=−𝐺𝜇𝑀𝑟2, G – гравитационная постоянная, откуда получаем уравнение свободного падения:

𝑟̈=−𝐺𝑀𝑟2 (1)

Замечая, что 2𝑟̇𝑟̈=𝑑𝑑𝜏(𝑟̇2) и 𝑟̇𝑑𝜏=𝑑𝑟, имеем: 𝑑(𝑟̇2)=−2𝐺𝑀𝑑𝑟𝑟2 (2)

Уравнение (2) – в полных дифференциалах, интегрируем:

𝑟̇2=2𝐺𝑀1𝑟+𝐶1

Из начальных условий получаем 𝐶1= −2𝛾𝑀𝑅, откуда 𝑟̇= −√2𝛾𝑀(𝑅−𝑟)√𝑟𝑅, а потом и

𝑑𝜏= − √𝑟𝑅√2𝛾𝑀(𝑅−𝑟) 𝑑𝑟. После подстановки 𝑟= 𝑢2,𝑑𝑟=2𝑢𝑑𝑢 интеграл сводится к табличному:

τ = −2√𝑅√2𝛾𝑚∫𝑢2𝑑𝑢√𝑅−𝑢2 +𝐶2 , а после второго применения начальных условий и возврата к исходным переменным получаем классические решения:

𝜏=𝜋𝑅32⁄√8𝛾𝑀−√2𝑅𝛾𝑀(𝑅2𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√𝑟𝑅−√𝑟2√𝑅−𝑟), (3)

𝑟̇=−√2𝛾𝑀√𝑅−𝑟√𝑟𝑅 (4)

(3) для r = 0 даёт 𝜏𝑘= 𝜋𝑅32⁄√8𝛾𝑀 , это – искомое время движения до встречи. Скорость 𝑟̇ по (4) при этом бесконечна. Это и есть классический результат.

Если взять пару Земля/Солнце и положить r = 0, (3) даёт 64.597... суток. Это - время падения Земли с её орбиты на Солнце, которое получил ещё Перельман (1882 — 1942, умер в блокадном Ленинграде) в 1929 году [8]. У него получилось 64.523... суток. Наше решение (4) — теоретически точное. Разница уже во втором знаке. Причина понятна: Перельман в [8] взял продолжительность года в 365 суток ровно и вычислял через законы Кеплера. Он просто прикидывал это значение, а в нашем решении период обращения Земли не используется.

Сближение двух тел должно начаться до того, как станет наблюдаемым. Свету потребуется время, равное поправке Рёмера, то есть R/C (отрезок CA) по рисунку 1 для того, чтобы достичь наблюдателя в точке B в момент τ = 0.

При τ = 0 приведённая масса μ будет находится не в точке A, а в точке E по рисунку 1, что соответствует точке F на графике движения AFD.

Ось абсцисс у нас одна, а мы ввели ещё одно время - t - со своим началом отсчёта t = 0.

Отличие кривой АFD от CED и времени t от τ очевидно из соотношения (5):

τ =  t + r/c (5)

В момент встречи тел r = 0, и поправка Рёмера тоже становится равной нулю. По этой причине кривые AFD и CED заканчиваются в точке D. Если в [5] положить C=, времена t и τ  тождественно совпадут. Есть много работ, авторы которых показывают, что Ньютон именно так и поступил, нигде прямо на это не указав, хотя и был в числе сторонников Рёмера. Не будем перечислять эти работы, потому что суть не в этом.

При Ньютоновом подходе важны массы, координаты, скорости и ускорения материальных точек. Свойство светил светиться становится несущественным. Он пренебрёг светимостью. В терминах нашего равенства (5) он пренебрёг поправкой Рёмера, то есть последним членом в правой части (5). Конечна скорость света при этом или бесконечна несущественно.

Кривые AFD и CED различны. Они отражают разные законы движения. Мы рассуждаем об аргументах функций. Наше решение (3) это функция обратная.

Истинное классическое Ньютоново абсолютное математическое время с равномерным темпом своего хода течёт вдоль кривой CED.

Вдоль кривой AFD время не Ньютоново. Оно зависит от текущих расстояний r в ходе движения. Равномерностью хода оно не обладает, поскольку при падении от r = R до r = 0 поправка Рёмера r/c непрерывно изменяет своё значение по (5) от своего максимума R/c до нуля.

Но именно это трактуется во всех курсах теоретической механики как классическое решение по Ньютону, хотя сам он никогда такой задачи не ставил и не решал.

Все наблюдения астрономов за последние как минимум 3000 лет записаны по времени наблюдателя τ, то есть не по времени Ньютона.

Все астрономические таблицы составлялись для моментов наблюдений [4,6,7].

И каталог Гиппарха (129 г. до н.э.), и Птолемеев «Альмагест» (середина II века н.э.), и «Рудольфины» Кеплера (1627 г.) составлены на основе наблюдений кульминаций светил в соответствующие эпохи наблюдений по времени, которое каждый из них понимал по-своему.

Считается, что астрономические таблицы веками составлялись по времени Ньютона.

Получается, что все ошибались.

Эффект Рёмера и теоретическая необходимость учёта его поправок астрономам не мешали и не мешают.

Современный астроном всегда сможет вычислить по своим наблюдениям истинное положение планеты на её орбите, если это ему потребуется. Им это не надо. Их интересуют сами объекты, а не их положения на веками известных им орбитах. Таблицы нужны для наведения инструментов, а ничтожные по величине поправки Рёмера никак этому не мешают.

Подсчёт по средним движениям Юпитера, например, даёт максимальную величину его углового смещения за время распространения света от его давно известных наблюдаемых положений в 9", что мало как по сравнению с минимальным, так и максимальным видимыми угловыми диаметрами диска планеты – около 32" и 50" соответственно.

Вдоль кривой АFD действует классический закон тяготения Ньютона: . Сама эта кривая получена на его основе.

Возникает задача о законе тяготения, действующем вдоль кривой CED.

Вернём светимость светилам (материальным точкам) и учтём поправки, вызываемые эффектом Рёмера [2]. Для этой заметки это не постулат, а восстановление исторической справедливости [3].

Здесь начальные условия такие:

При ,

Из (5) следует: (6)

Имеем: (7)

И для определения применяем исправленные начальные условия, откуда:

 

(8),

 

(9)

 

, (10)

 

Из (10), после несложных преобразований, получаем:

 

здесь - гравитационный радиус (11)

 

При r = 0 (11) даёт скорость встречи C, в отличие от (4).

 

Из сравнения (9) и (3) видно, что время падения Земли на Солнце возрастает (при r = 0) на ~ 8 минут - на время движения света от Солнца до Земли. Это - поправка к почти двум месяцам (см. выше), что не превышает 0.0086%. Эти доли процента с начала ХХ века лежат в основе уверенности в необходимости пересмотра классических представлений.

Это и различные теории «опережающих потенциалов», и теория Гербера (1854 — 1909), и пр.

Отметим, что от начального расстояния R как в классических и преподаваемых сейчас решениях (3), (4), так и предлагаемых вместо них решениях (9), (11) зависит лишь время движения до встречи, .

Скорость встречи от этого параметра не зависит.

Полагая в (11) R= и возводя обе части в квадрат, получаем потенциал, выраженный через вторую космическую скорость, равную в нашем случае C, при старте из точки r=0:

, (12)

 

При старте из точек r половина квадрата второй космической скорости приводит потенциал к виду

, (13)

 

Дифференцируя (13) по r, получаем напряжённость поля, или, по традиционной русской терминологии, местное ускорение свободного падения g(r):

 

g(r) = += - (14),

 

что после умножения на μ даёт исправленный по Рёмеру закон тяготения

 

F(r) = g(r)μ = - (15)

 

При r → (15) даёт формулу Вудынского (F , если кто не помнит. Размерность – ньютон, проверьте). В микромире гравитация по (15) получает порядок ядерных сил.

Эффект Рёмера действует и в микромире, хотя чему же там светиться и кому наблюдать? Но даже в современной квантовой механике есть электромагнитное взаимодействие, которое распространяется со скоростью света.

Для измерения поправок Рёмера на микрорасстояниях потребуется измерять время значительно точнее, чем это возможно сейчас. Приставок после аттосекунд (придётся значительно добавить. Сейчас это невозможно.

Гравитационным радиусом всегда можно пренебречь по сравнению с космическими расстояниями и пользоваться законом тяготения Ньютона, который и решал задачи только космического масштаба.

Встретились наши частицы.

Сила, удерживающая их, по (15) бесконечна. Частицы слились. Из двух частиц с массами и возникла третья, обладающая суммарной массой двух предыдущих, М. И без дефекта массы.

Разделить их невозможно.

В микромире расстояние между двумя телами быть равным нулю не может, r ≠ 0. Это будет означать, что частицы проникли друг в друга. В аналитической механике материальная точка это просто координаты без размеров и формы, а координаты могут и совпасть. Это и означает r = 0. Материальная точка классической механики, так и не определённая Ньютоном в его «Началах», это такая же абстракция, как и понятие треугольника в геометрии Евклида. Это могут быть и две падающие друг на друга галактики, и две звезды, и две корпускулы.

Пространство и время взаимосвязаны и в классической механике. Через наше равенство (5). Наблюдатель видит совершенно искажённую картину звёздного неба. Это давно известный факт, излагаемый в университетских учебниках [6]. Но никак не учитываемый при решениях задач.

Заметка, которую вы читаете – это первая попытка такого рода.

Возникает идея предложить безразмерную поправку Рёмера (критерий подобия Рёмера?).

Вернём внимание читателя к рисунку 1. Отношение отрезков безразмерно. Это и есть безразмерная поправка (критерий?) Рёмера, обозначенный в таблице как δ.

	M, кг	R, м		δ
Галактики	4.00E+42	2.38E+22	1.19E+16	4.50E-04
Звезда/галактика	4.00E+42	2.38E+22	5.93E+15	3.18E-04
Звезды	1.99E+30	4.00E+16	5.90E+03	2.45E-07
Планеты	5.97E+24	1.50E+12	1.77E-02	6.93E-08
Нейтроны	1.67E-27	2.00E-15	4.95E-54	3.17E-20
Нейтрино	1.53E-37	2.00E-15	4.54E-64	3.03E-25

Выбор пар точек произволен, но тенденция очевидна. Эта безразмерная поправка отражает пространственный масштаб конкретной решаемой задачи. С её помощью, видимо, можно определить и конкретную границу между макро- и микромиром с точки зрения классики?