Нелинейная динамическая модель взаимозависимых отраслей производства

Нелинейная динамическая модель взаимозависимых отраслей производства

В данной работе построена и изучена математическая модель выпуска продукции взаимозависимыми отраслями производства. Под взаимозависимыми отраслями производства понимаются система отраслей, в которой необходимым условием существования одной отрасли является существование другой отрасли. Классический пример взаимозависимых отраслей – угольная и металлургическая промышленность.

Математическая модель представляет собой нелинейную автономную динамическую систему (система автономных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка). Динамическими переменными системы являются количества продукции, производимые взаимозависимыми отраслями производства. Параметрами системы являются темпы роста продукции, ресурсные ограничения и ограничения на потреблении продукции. Изучены автономные системы с различными функциями ресурсных ограничений и ограничений на потребление продукции. Из этого множества система, выделана система, решения которой наиболее близки к эмпирически наблюдаемым значениям выпуска продукции. Найдены значения равновесных количеств продукции. Построены параметрические и фазовые портреты системы. Определены параметрические условия устойчивости и неустойчивости равновесных точек.

Данная автономная динамическая система использована в качестве базовой системы для построения имитационной модели динамики выпуска продукции взаимозависимыми отраслями и разработки системы поддержки принятия решений. Представленные результаты научных исследований являются обобщением и усовершенствованием результатов.

Авторы публикации

Рубрика

Математика

Журнал

Журнал «Научный лидер» выпуск # 5 (50), февраль ‘22

Дата публицакии 30.01.2022

Поделиться

Качественный анализ динамической системы в первом приближении.

На данный момент существует множество статей и публикаций о нелинейных динамических системах (как пример, Нелинейная динамика взаимодействующих популяций [1]), но поскольку их анализ сложно подвести под общий случай, то в каждой статье имеется скорее некое количество частных случаев, чем общее решение. В данной работе будет разбираться один из таких частных случаев, а именно система двух взаимозависимых отраслей производства с учетом ферхюльстовских ограничений.

Существенным отличием от существующих работ (к примеру, от статьи: The nonlinear differential dynamics of interdependent branches of industry [2]) является именно наличие ограничений на продукцию, что существенно усложняет систему, но при этому приближает ее к реальной картине мира.

Целью данной работы является проведения качественного анализа динамической системы в первом приближении.

Для достижения приведенной выше цели были выполнены следующие задачи:

  1. Найдены равновесные точки.
  2. Определены типы устойчивости равновесных точек.
  3. Проведен поиск точек бифуркации.
  4. Построены фазовые портреты отдельных случаев.

Все вышеперечисленные задачи и методы их выполнения будут рассмотрены в данной работе. Но большая часть математических выкладок будет опущена, поскольку они будут скорее мешать, чем помогать разобраться в теме работы.

В работе будут рассмотрены две взаимозависимые отрасли производства: угольная и металлургическая промышленности (для угольной промышленности требуется металл, а для металлургической требуется энергия, в том числе и уголь).

                

Рисунок 1. Зависимость отраслей производства

 

Таким образом, ориентируясь на описанный пример, отображённый на рисунке 1, получаем систему двух взаимозависимых отраслей производства с добавленными ферхюльстовскими ограничениями.

Исходная динамическая система:

equation.pdf                                                             (1)

Слагаемое equation.pdf означает рост количества продукта первой отрасли, не зависящий от второй отрасли с ферхюльстовским ограничением,

equation.pdf — рост количества продукта первой отрасли, зависящий от количества продукта второй отрасли, с ферхюльстовским ограничением,

equation.pdf — рост количества продукта второй отрасли, не зависящий от первой отрасли с ферхюльстовским ограничением,

equation.pdf — рост количества продукта второй отрасли, зависящий от количества продукта первой отрасли, с ферхюльстовским ограничением,

equation.pdf  —рыночное потребление продукции первой отрасли,

equation.pdf  — рыночное потребление продукции второй отрасли,

equation.pdf  — потребление продукции первой отрасли (сырья) второй отраслью,

equation.pdf  — потребление продукции второй отрасли (сырья) первой отраслью.

В этой системе все параметры положительные числа.

Введем некоторые обозначения, которые в некоторых случаях будем использовать в дальнейшем:

equation.pdf

Для нахождения равновесных точек приравниваем оба уравнения к нулю.

Опустим математические вычисления. В итоге получим четыре возможных случая.

Случай 1: (x, y) -> (0,0). Хоть случай неинтересен с экономической точки зрения, но все же для качественного анализа он необходим.

Тогда 

В зависимости от значений параметров получаем несколько типов устойчивости.

Рисунок 2. Фазовые портреты случая 1 для λ1 > 0, λ2 > 0 и  λ1 < 0, λ2 > 0

 

λ1 > 0 и λ2 > 0 следовательно, неустойчивый узел.  λ1 < 0 и λ2 > 0 следовательно, седло. Фазовые портреты для данных значений параметров  изображены на рисунке 2.

 

Рисунок 3. Фазовые портреты случая 1 для λ1 > 0, λ2 < 0 и  λ1 < 0, λ2 < 0

 

λ1 > 0 и λ2 < 0 следовательно, седло. λ1 < 0 и λ2 < 0 следовательно, устойчивый узел. Фазовые портреты на рисунке 3.

Случай 2: (x, y) -> (0, .

Поскольку мы рассматриваем неотрицательные значения x и y (с точки зрения реального взаимодействия производств они подразумеваются не отрицательными), то equation.pdf.

Тогда λ1 = equation.pdf 

Заметим, что λ2 неположительное. Таким образом, тип устойчивости зависит лишь от λ1.

Если λ1 > 0, то седло. Если λ1 < 0, то устойчивый узел.

 

Рисунок 4. Фазовые портреты случая 2 для λ1 > 0 и λ1 < 0

 

Для фазовых портретов на рисунке 4 были заданы такие параметры, что равновесная точка — точка (0, 1).

Случай 3: (x, y) -> equation.pdf

Поскольку мы рассматриваем неотрицательные значения x и y, то equation_18.pdf.

Тогда λ1 = equation.pdf

Заметим, что λ1 неположительное. Таким образом, тип устойчивости зависит лишь от λ2.

Если λ2 > 0, то седло.

Если λ2 < 0, то устойчивый узел.

В данном случае получаем фазовые портреты аналогичные случаю 2, отображённых на рисунке 4.

Случай 4. Самый интересный с экономической точки зрения случай, а также сложнейший с математической точки зрения, когда переменные не равны нулю, а строго положительны.

В этом случае найти равновесную точку не так просто, как в предыдущих случаях, поскольку предстоит работать со степенными функциями, от которых раньше мы избавлялись.

Если не вдаваться в подробности вычислений, то решая стандартным способом получили бы следующие равновесные точки:

equation.pdf                                                                    (2)

equation.pdf                                                                              (3)

где

b =  equation.pdf,

a = equation.pdf,

c = equation.pdf.

Если подставить все сокращения в выражения для равновесных точек, то очевидно, что оно будет слишком большим и не удобным для дальнейшей работы. К тому же, после этого для определения типа устойчивости нам понадобится якобиан и его собственные значения. Даже определив несколько условий, к примеру, что переменные положительны, получится слишком сложное для определения знака собственных значений выражения (как пример, в Wolfram Alpha выражение для каждого собственного значения заняло более 5 строк). Таким образом, так просто проверить все возможные варианты не получится.

Исходя из всего вышесказанного было решено построить взаимное расположение нуль-изоклин, а после построить фазовые портреты для определённых параметров. Таким образом, не придется делать сложных вычислений, и станет возможным определить тип устойчивости по фазовым портретам.

Уравнения нуль-изоклин нашей системы после некоторых математических выкладок имеют следующий вид:

equation.pdf                                                                     (4)

equation.pdf                                                                    (5),

где

equation.pdf

 

Рисунок 5. Расположение нуль-изоклин

 

На рисунке 5 представлен один из возможных случаев расположения нуль-изоклин. Всего возможно 4 случая:

  1. 4 общие точки (представлен на рисунке 5)
  2. 3 общие точки
  3. 2 общие точки
  4. 1 общая точка (параболы касаются друг друга)

В зависимости от случая будет происходить изменение портрета системы.

Для примера рассмотрим случай 1. Тогда для четырех общих точек достаточно, чтобы значение функции 4 в вершине было больше, чем положительный корень уравнения 5, когда оно равно нулю, и аналогично значение функции уравнения 5 в вершине должно быть больше, чем положительный корень уравнения 4, когда оно равно нулю.

 

Рисунок 6. Плотностная диаграмма потоков

 

На рисунке 6 отображена плотностная диаграмма потоков для данного случая, и стоит отметить, что как оказалось фазовый портрет со схожими параметрами уже рассматривался ранее.

Таким образом, пользуясь методом нуль-изоклин, можно построить фазовые портреты для каждого отдельного случая и провести анализ основываясь только на нем, не вычисляя равновесные точки, которые в общем случае вычислить напрямую становится куда сложнее.

Список литературы

  1. A. Katok,  B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1995.
  2. V. Dmitriev, S. Maltseva, A. Dmitriev, The nonlinear differential dynamics of interdependent branches of industry, International Journal of Business and Management Study, 2(2), pp. 113-117, 2015.
  3. A. Gershenfeld, The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge University Press, 1999.
  4. В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо, Д.С. Ушхо, Полиномиальные векторные поля на плоскости. Майкоп, 2012.
  5. А.Д. Базыкин. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва, 2003.

Предоставляем бесплатную справку о публикации,  препринт статьи — сразу после оплаты.

Прием материалов
c по
Осталось 5 дней до окончания
Размещение электронной версии
Загрузка материалов в elibrary