Качественный анализ динамической системы в первом приближении.
На данный момент существует множество статей и публикаций о нелинейных динамических системах (как пример, Нелинейная динамика взаимодействующих популяций [1]), но поскольку их анализ сложно подвести под общий случай, то в каждой статье имеется скорее некое количество частных случаев, чем общее решение. В данной работе будет разбираться один из таких частных случаев, а именно система двух взаимозависимых отраслей производства с учетом ферхюльстовских ограничений.
Существенным отличием от существующих работ (к примеру, от статьи: The nonlinear differential dynamics of interdependent branches of industry [2]) является именно наличие ограничений на продукцию, что существенно усложняет систему, но при этому приближает ее к реальной картине мира.
Целью данной работы является проведения качественного анализа динамической системы в первом приближении.
Для достижения приведенной выше цели были выполнены следующие задачи:
- Найдены равновесные точки.
- Определены типы устойчивости равновесных точек.
- Проведен поиск точек бифуркации.
- Построены фазовые портреты отдельных случаев.
Все вышеперечисленные задачи и методы их выполнения будут рассмотрены в данной работе. Но большая часть математических выкладок будет опущена, поскольку они будут скорее мешать, чем помогать разобраться в теме работы.
В работе будут рассмотрены две взаимозависимые отрасли производства: угольная и металлургическая промышленности (для угольной промышленности требуется металл, а для металлургической требуется энергия, в том числе и уголь).
Рисунок 1. Зависимость отраслей производства
Таким образом, ориентируясь на описанный пример, отображённый на рисунке 1, получаем систему двух взаимозависимых отраслей производства с добавленными ферхюльстовскими ограничениями.
Исходная динамическая система:
(1)
Слагаемое означает рост количества продукта первой отрасли, не зависящий от второй отрасли с ферхюльстовским ограничением,
— рост количества продукта первой отрасли, зависящий от количества продукта второй отрасли, с ферхюльстовским ограничением,
— рост количества продукта второй отрасли, не зависящий от первой отрасли с ферхюльстовским ограничением,
— рост количества продукта второй отрасли, зависящий от количества продукта первой отрасли, с ферхюльстовским ограничением,
—рыночное потребление продукции первой отрасли,
— рыночное потребление продукции второй отрасли,
— потребление продукции первой отрасли (сырья) второй отраслью,
— потребление продукции второй отрасли (сырья) первой отраслью.
В этой системе все параметры положительные числа.
Введем некоторые обозначения, которые в некоторых случаях будем использовать в дальнейшем:
Для нахождения равновесных точек приравниваем оба уравнения к нулю.
Опустим математические вычисления. В итоге получим четыре возможных случая.
Случай 1: (x, y) -> (0,0). Хоть случай неинтересен с экономической точки зрения, но все же для качественного анализа он необходим.
Тогда
В зависимости от значений параметров получаем несколько типов устойчивости.
Рисунок 2. Фазовые портреты случая 1 для λ1 > 0, λ2 > 0 и λ1 < 0, λ2 > 0
λ1 > 0 и λ2 > 0 следовательно, неустойчивый узел. λ1 < 0 и λ2 > 0 следовательно, седло. Фазовые портреты для данных значений параметров изображены на рисунке 2.
Рисунок 3. Фазовые портреты случая 1 для λ1 > 0, λ2 < 0 и λ1 < 0, λ2 < 0
λ1 > 0 и λ2 < 0 следовательно, седло. λ1 < 0 и λ2 < 0 следовательно, устойчивый узел. Фазовые портреты на рисунке 3.
Случай 2: (x, y) -> (0, .
Поскольку мы рассматриваем неотрицательные значения x и y (с точки зрения реального взаимодействия производств они подразумеваются не отрицательными), то .
Тогда λ1 =
Заметим, что λ2 неположительное. Таким образом, тип устойчивости зависит лишь от λ1.
Если λ1 > 0, то седло. Если λ1 < 0, то устойчивый узел.
Рисунок 4. Фазовые портреты случая 2 для λ1 > 0 и λ1 < 0
Для фазовых портретов на рисунке 4 были заданы такие параметры, что равновесная точка — точка (0, 1).
Случай 3: (x, y) ->
Поскольку мы рассматриваем неотрицательные значения x и y, то .
Тогда λ1 =
Заметим, что λ1 неположительное. Таким образом, тип устойчивости зависит лишь от λ2.
Если λ2 > 0, то седло.
Если λ2 < 0, то устойчивый узел.
В данном случае получаем фазовые портреты аналогичные случаю 2, отображённых на рисунке 4.
Случай 4. Самый интересный с экономической точки зрения случай, а также сложнейший с математической точки зрения, когда переменные не равны нулю, а строго положительны.
В этом случае найти равновесную точку не так просто, как в предыдущих случаях, поскольку предстоит работать со степенными функциями, от которых раньше мы избавлялись.
Если не вдаваться в подробности вычислений, то решая стандартным способом получили бы следующие равновесные точки:
(2)
(3)
где
b = ,
a = ,
c = .
Если подставить все сокращения в выражения для равновесных точек, то очевидно, что оно будет слишком большим и не удобным для дальнейшей работы. К тому же, после этого для определения типа устойчивости нам понадобится якобиан и его собственные значения. Даже определив несколько условий, к примеру, что переменные положительны, получится слишком сложное для определения знака собственных значений выражения (как пример, в Wolfram Alpha выражение для каждого собственного значения заняло более 5 строк). Таким образом, так просто проверить все возможные варианты не получится.
Исходя из всего вышесказанного было решено построить взаимное расположение нуль-изоклин, а после построить фазовые портреты для определённых параметров. Таким образом, не придется делать сложных вычислений, и станет возможным определить тип устойчивости по фазовым портретам.
Уравнения нуль-изоклин нашей системы после некоторых математических выкладок имеют следующий вид:
(4)
(5),
где
Рисунок 5. Расположение нуль-изоклин
На рисунке 5 представлен один из возможных случаев расположения нуль-изоклин. Всего возможно 4 случая:
- 4 общие точки (представлен на рисунке 5)
- 3 общие точки
- 2 общие точки
- 1 общая точка (параболы касаются друг друга)
В зависимости от случая будет происходить изменение портрета системы.
Для примера рассмотрим случай 1. Тогда для четырех общих точек достаточно, чтобы значение функции 4 в вершине было больше, чем положительный корень уравнения 5, когда оно равно нулю, и аналогично значение функции уравнения 5 в вершине должно быть больше, чем положительный корень уравнения 4, когда оно равно нулю.
Рисунок 6. Плотностная диаграмма потоков
На рисунке 6 отображена плотностная диаграмма потоков для данного случая, и стоит отметить, что как оказалось фазовый портрет со схожими параметрами уже рассматривался ранее.
Таким образом, пользуясь методом нуль-изоклин, можно построить фазовые портреты для каждого отдельного случая и провести анализ основываясь только на нем, не вычисляя равновесные точки, которые в общем случае вычислить напрямую становится куда сложнее.
Список литературы
- А.Д. Базыкин. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва, 2003.
- V. Dmitriev, S. Maltseva, A. Dmitriev, The nonlinear differential dynamics of interdependent branches of industry, International Journal of Business and Management Study, 2(2), pp. 113-117, 2015.
- A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1995.
- A. Gershenfeld, The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge University Press, 1999.
- В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо, Д.С. Ушхо, Полиномиальные векторные поля на плоскости. Майкоп, 2012.