ДОПУСТИМЫЙ ДИАПАЗОН МАССЫ КВАДРОКОПТЕРА ПРИ ФИКСИРОВАННОЙ НАСТРОЙКЕ ПИД-РЕГУЛЯТОРА ВЫСОТЫ

Изменение комплектации квадрокоптера требует проверки регулятора высоты. Цель работы — определить ближайшие к номинальной массе нижнюю и верхнюю границы, между которыми фиксированный ПИД обеспечивает заданное качество перехода. Модели квадрокоптера рассмотрены в [2; 3], принципы ПИД-регулирования — в [1].

Рассматривается вертикальное движение при нулевых крене и тангаже. Масса постоянна в каждом опыте; центр масс не смещается. Ветер, шум измерений и угловое движение не учитываются.

   (1)

где

 z — высота;

m — масса;

T — фактическая тяга;

u — управление.

Приняты m₀ = 4,5 кг, g = 9,81 м/с², c = 0,6 Н·с/м, τ_T = 0,05 с. Управление ограничено диапазоном 0–96 Н. Сопротивление и динамика тяги заданы для расчётного примера.

   (2)

где

u^*_k — команда до ограничения;

r_k — задание;

I_k — интегральная коррекция, Н.

Производная q_k вычисляется по измеренной высоте с фильтром τ_f = 0,08 с. Период ПИД T_s = 0,01 с. Пробное приращение интегратора K_i T_s e_k отменяется, если оно усиливает превышение предела команды. Между отсчётами команда постоянна.

При номинальной массе перебраны 27 сочетаний: K_p ∈ {45; 50; 55}, K_i ∈ {12; 14; 16}, K_d ∈ {25; 28; 30}. Среди вариантов с перерегулированием σ ≤ 10 % и временем регулирования t_р ≤ 8 с выбран вариант с наименьшим σ: K_p = 55 Н/м, K_i = 12 Н/(м·с), K_d = 25 Н·с/м. При m₀ получены σ = 6,28 % и t_р = 7,36 с. Далее коэффициенты и компенсация m₀, g не изменяются.

В каждом опыте выполняется переход с 2 на 3 м из висения: начальная скорость равна нулю, T(0) = mg, I(0) = (m − m₀)g. Это начальное равновесие, а не перенастройка ПИД. Перерегулирование нормируется на изменение задания 1 м. Время регулирования определяется последним входом в полосу 3 ± 0,02 м без последующих выходов на горизонте 20 с.

Объект интегрируется методом Рунге–Кутты четвёртого порядка с шагом 0,002 с. Расчёт выполнен для 9281 массы от 0,50 до 9,78 кг с шагом 0,001 кг. Выбирается последовательность допустимых узлов, содержащая m₀; ближайшие нарушения с обеих сторон уточняются двоичным делением до ширины интервала не более 0,0001 кг.

Рисунок 1. Перерегулирование и время регулирования в зависимости от массы

Серым на рисунке 1 выделена область вокруг m₀; горизонтальные линии обозначают критерии. На её 5588 узлах максимальное σ равно 9,35%. Значения σ выше 30% находятся вне шкалы; точки t_р опущены, если установление за 20 с не достигнуто. Отдельная допустимая область 1,823–3,167 кг отделена нарушениями критерия и не расширяет диапазон вокруг m₀.

Таблица 1.

Переходы по высоте около найденных границ

В таблице 1 t_нас — время команды на пределе тяги. Уточнённые границы составляют приблизительно 4,1535 и 9,7419 кг; обе ограничены t_р, а не σ. На нижней границе меняется режим условного интегрирования, на верхней длительное насыщение замедляет набор высоты. Проверка меньшего шага интегрирования 0,001 с сохранила допустимые концы граничных интервалов; горизонт 40 с не изменил классификацию пяти опытов таблицы.

Округление внутрь области даёт 4,16–9,74 кг, то есть −0,34 и +5,24 кг относительно m₀, или −7,56 и +116,44%. Симметричный допуск равен ±0,34 кг (±7,56%). Результат относится к выбранной модели и переходу из висения. При 9,74 кг запас тяги до 96 Н составляет всего 0,4506 Н; расчётная верхняя граница не является рекомендуемой рабочей массой.

При фиксированной настройке ПИД найден расчётный диапазон массы 4,16 – 9,74 кг, содержащий номинальные 4,5 кг и удовлетворяющий σ ≤ 10% и t_р ≤ 8 с на исследованной сетке. Симметричный допуск составляет ±7,56%. Границы определяются временем регулирования и действительны для принятых параметров и сценария; глобальная устойчивость и эксплуатационные ограничения аппарата не устанавливаются.