ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА РУЛЕВОГО ПРИВОДА МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Введение

При испытаниях модуля рулевых приводов на вход каждой рулевой машинки подается гармоническое управляющее воздействие. Автоматизированная система контроля регистрирует заданный и фактический углы поворота выходного вала. Из-за инерционности электрических и механических элементов выходной сигнал отличается от входного по амплитуде и фазе. Эти различия характеризуют качество отработки команды и используются при проверке соответствия привода установленным требованиям.

Определение параметров только по максимумам и минимумам сигнала чувствительно к шуму, выбросам и дискретности измерений. Более устойчивый результат дает обработка всего массива отсчетов. Для этого применяется метод наименьших квадратов, позволяющий подобрать параметры аналитической модели так, чтобы суммарное отклонение модели от экспериментальных значений было минимальным [1].

Математическая модель сигнала

Пусть фактические значения угла поворота αᵢ зарегистрированы в моменты времени tᵢ, где i = 1, 2, ..., n. Частота управляющего воздействия f известна из программы испытаний. В установившемся режиме выходной сигнал можно представить гармонической функцией с постоянной составляющей:

α(t) = α₀ + A·sin(ωt + φ) (1)

где α₀ - среднее значение сигнала; A - амплитуда; ω - круговая частота; φ - начальная фаза. Круговая частота связана с частотой воздействия соотношением:

ω = 2πf  (2)

Прямое определение амплитуды и фазы из выражения (1) является нелинейной задачей. Использование формулы синуса суммы позволяет преобразовать модель к линейному относительно неизвестных коэффициентов виду:

α̂(t) = a₁ + a₂·sin(ωt) + a₃·cos(ωt) (3)

В данной записи a₁ соответствует постоянной составляющей, a₂ = A·cosφ, a₃ = A·sinφ. Для каждого измерительного отсчета вычисляются значения трех базисных функций: 1, sin(ωtᵢ) и cos(ωtᵢ). Коэффициенты модели выбираются из условия минимизации суммы квадратов невязок:

S = Σ[αᵢ - α̂(tᵢ)]² → min (4)

Квадратичная форма критерия исключает взаимную компенсацию положительных и отрицательных отклонений. В расчет одновременно входят все точки выбранного участка, поэтому отдельная случайная ошибка оказывает меньшее влияние на итоговые параметры, чем при определении характеристик по единичным экстремумам [2].

Для получения минимума функционала частные производные по a₁, a₂ и a₃ приравниваются к нулю. В результате формируется система трех нормальных уравнений. В матричной форме она записывается как:

(XᵀX)a = Xᵀy (5)

Здесь X - матрица значений базисных функций, a - вектор искомых коэффициентов, y - вектор измеренных углов. Решение системы дает аналитическое описание основной гармоники фактического сигнала.

Определение амплитуды и фазы

После нахождения коэффициентов линейной модели исходные параметры гармонического сигнала восстанавливаются обратным преобразованием. Амплитуда фактического угла поворота определяется выражением:

Aф = √(a₂² + a₃²) (6)

Начальная фаза вычисляется с использованием функции atan2, которая учитывает знаки обоих коэффициентов и позволяет правильно определить квадрант угла:

φф = atan2(a₃, a₂) (7)

Для представления результата в градусах полученное значение умножается на 180/π. Фазовое запаздывание находится как модуль разности фаз заданного и фактического сигналов. Амплитудное искажение выражается в децибелах:

Kₐ = 20·lg(Aф / Aзад) (8)

Если амплитуды совпадают, Kₐ равно нулю. Отрицательное значение показывает уменьшение амплитуды выходного сигнала, положительное - ее увеличение. Фазовое запаздывание характеризует инерционность рулевой машинки и обычно возрастает при повышении частоты воздействия [3].

Таблица 1.

Этапы обработки одного частотного участка

В программе экспресс-оценки обработка повторяется для четырех рулевых машинок, двух амплитуд управляющего воздействия и двадцати частот. Таким образом, анализируется 160 сочетаний режимов. Для каждого сочетания автоматически формируется собственный набор коэффициентов и рассчитываются контролируемые характеристики.

Применение метода и оценка результата

Перед аппроксимацией необходимо выбрать установившуюся часть сигнала. Начальные отсчеты после изменения частоты могут содержать переходный процесс и искажать оценку фазы. Желательно, чтобы анализируемый участок включал несколько полных периодов. В этом случае точки равномернее распределяются по синусоидальной кривой, а система нормальных уравнений становится устойчивее.

Качество аппроксимации можно контролировать по среднеквадратическому отклонению измеренных значений от модели. Малое отклонение означает, что основная гармоника достаточно точно описывает фактический сигнал. Рост ошибки может указывать на помехи, выбросы, неправильное выделение участка или наличие заметных нелинейных искажений. При необходимости модель расширяется добавлением синусоидальных и косинусоидальных составляющих кратных частот.

Практическое преимущество метода заключается в использовании всего измерительного массива без ручного поиска характерных точек. Вычисления сводятся к решению трех линейных уравнений, после чего полученные характеристики автоматически сравниваются с допустимыми пределами.

Заключение

Метод наименьших квадратов позволяет перейти от дискретных измерений угла поворота к аналитической модели гармонического сигнала. Линеаризация исходной зависимости дает возможность определить постоянную составляющую, амплитуду и фазу решением системы нормальных уравнений. На основе найденных параметров рассчитываются фазовое запаздывание и амплитудное искажение.

Применение метода повышает повторяемость расчетов, снижает влияние случайных ошибок и обеспечивает автоматический анализ многоканального модуля рулевых приводов.