ДОСТУПНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ О СЕЧЕНИИ

В данной статье разберемся со следующей задачей.  

Плоскость α перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает сторону SA в точке K. Сечение – правильный треугольник площадью 2√3.

а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна AC.

б) Найдите, в каком отношении точка К делит сторону SA, если объём SABCD равен 36√6.

Рисунок 1. Чертеж к задаче

Решение:

а) Заметим, AO является проекцией AS на плоскость основания ABCD, поэтому проекцией точки K является точка L, принадлежащая отрезку AO (L∈AO).

Проекцией треугольника FEK, являющегося сечением пирамиды с плоскостью α, на плоскость основания пирамиды будет отрезок FE, тогда достаточно доказать, что FE ⊥ AO. [1]

По условию задачи треугольник FEK равносторонний, следовательно EK=KF=FE. Поэтому равные наклонные EK и KF имеют равные проекции на плоскость основания, т.е. EL = LF, где L точка пересечения EF и AO.

Рисунок 2. Выносной чертеж

Следовательно, что в прямоугольном треугольнике EAF: AL – медиана. По свойству медианы, выходящей из прямого угла, все три отрезка будут равны, т.е. EL = LF = AL. Тогда треугольники FLA и ALE равнобедренные. По условию задачи ∠LAF=∠LAE=45° (основание квадрат, AL – диагональ-биссектриса), а значит и углы ∠AFL=∠AEL=∠45°.  [2]

Зная, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, получаем что углы ∠FLA=∠ALE=90°(180°- 45°- 45° =90°).

б) Из точки K проведем перпендикуляр к OS. Точку пересечения обозначим через M. Заметим ∠SMK=∠KLA = 90°, ∠SKM=∠KAL (как соответственные), тогда треугольник AKL и KSM подобны, откуда  Зная, что KL=MO, получим  Найдем SM и  MO.

По условию задачи

Из ∆KLF по теореме Пифагора

Из условия задачи треугольник BSD равносторонний, пусть BS=SD= BD=a.

Откуда a³=36∙12∙√2=3³∙2³∙√2³, a=3∙2∙√2=62.

Из треугольника OSD по теореме Пифагора

Ответ: 2 : 1.

Замечание. Пункт б) рассмотренной задачи возможно решить, используя подобие двух пирамид, AEFK и ADBS. Т.е. V_ADBS=k³V_AEFK, где k – это коэффициент подобия.

Вышеизложенное решение может быть полезно для выпускников при самостоятельной подготовке к экзамену по математике, а также для учителей как опорный материал при рассмотрении подобных задач на элективных курсах.