ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗЕМЕЛЬНЫХ РЕСУРСОВ

Введение

Рациональное использование земельных ресурсов относится к числу приоритетных задач современного землеустройства. Ограниченность земельного фонда, необходимость согласования экономических, экологических и социальных интересов землепользователей, а также повышение требований к эффективности сельскохозяйственного производства обусловливают потребность в научно обоснованных методах распределения и перераспределения земель. Решения, принимаемые на основе экспертных оценок и сложившейся практики, как правило, не гарантируют оптимальности по выбранному критерию и не позволяют количественно оценить упускаемую выгоду.

Преодолеть эти ограничения позволяют экономико-математические методы и модели. Среди них особое место занимает линейное программирование (ЛП) — аппарат, ориентированный на поиск экстремума линейной целевой функции при линейных ограничениях. В землеустройстве методы ЛП применяются для оптимизации структуры угодий и посевных площадей, размещения производства, трансформации и перераспределения земель [1, 4]. Делимость земельной площади как ресурса делает применение именно линейных (непрерывных) моделей естественным и корректным.

Цель настоящей работы — показать применение методов линейного программирования к задаче перераспределения земельных ресурсов и на числовом примере продемонстрировать экономический эффект оптимизации. Для достижения цели формализована постановка задачи в виде транспортной модели, построена экономико-математическая модель, выполнено её решение и проведён анализ полученных результатов.

1. Теоретические основы применения линейного программирования в землеустройстве

Линейное программирование — раздел математического программирования, изучающий задачи оптимизации, в которых целевая функция и ограничения выражены линейными зависимостями. Основы метода были заложены в работах Л. В. Канторовича, предложившего в 1939 г. математический подход к организации и планированию производства [2]. В дальнейшем теория и методы решения задач ЛП получили развитие в трудах по исследованию операций [5, 7].

Общая задача линейного программирования состоит в нахождении значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при выполнении системы линейных ограничений-равенств и (или) неравенств и условий неотрицательности переменных. Для решения таких задач используются симплекс-метод и его модификации, а для задач транспортного типа — метод потенциалов. В прикладных расчётах широко применяются программные средства: надстройка «Поиск решения» в табличных процессорах, специализированные решатели (в том числе свободно распространяемые), а также библиотеки научных вычислений.

В землеустроительном проектировании значительная часть оптимизационных задач сводится к распределению ограниченного однородного ресурса — земельной площади — между несколькими потребителями (видами использования, культурами, землепользователями). Такие задачи удобно описывать транспортной моделью, которая является частным случаем задачи ЛП и обладает рядом полезных свойств: при целочисленных объёмах предложения и спроса оптимальное решение также целочисленно, а специфическая структура ограничений позволяет применять эффективные вычислительные процедуры [1].

2. Постановка задачи перераспределения земельных ресурсов

Рассмотрим земельный фонд, состоящий из m массивов (участков), различающихся по качеству почв (баллу бонитета), местоположению и пригодности для тех или иных видов использования. Площадь i-го массива равна aᵢ. Землю необходимо распределить между n видами использования (сельскохозяйственными культурами, угодьями или землепользователями), потребность j-го вида использования в площади составляет bⱼ.

Эффективность размещения характеризуется удельным экономическим эффектом cᵢⱼ — чистым доходом, получаемым с единицы площади i-го массива при его использовании под j-й вид. Величина cᵢⱼ зависит как от качества земли, так и от вида использования, поэтому при перераспределении важно учитывать всю матрицу сочетаний «массив × вид использования». Требуется найти такое распределение площадей, при котором суммарный чистый доход максимален.

Будем полагать задачу сбалансированной, то есть суммарная площадь массивов равна суммарной потребности. Несбалансированный случай (избыток или дефицит площади) сводится к сбалансированному введением фиктивного вида использования или фиктивного массива с нулевыми удельными эффектами, что является стандартным приёмом теории транспортных задач.

3. Экономико-математическая модель

Введём переменные xᵢⱼ — площадь i-го массива, отводимая под j-й вид использования. Тогда модель задачи перераспределения земельных ресурсов записывается следующим образом.

Целевая функция (максимизация суммарного чистого дохода):

Z = ∑_i∑_j c_ij · x_ij → max; (1)

ограничения по площадям массивов (всё предложение распределяется полностью):

∑_j x_ij = a_i , i = 1, …, m; (2)

ограничения по потребностям видов использования (весь спрос удовлетворяется):

∑_i x_ij = b_j , j = 1, …, n; (3)

условие неотрицательности переменных:

x_ij ≥ 0, i = 1, …, m; j = 1, …, n; (4)

условие баланса задачи:

∑_i a_i = ∑_j b_j . (5)

Модель (1)–(5) представляет собой замкнутую транспортную задачу линейного программирования размерности m × n. При необходимости она дополняется агротехническими, севооборотными, экологическими и иными ограничениями (например, требованием минимальной доли отдельных угодий или запретом размещения некоторых культур на массивах определённого качества), что расширяет её прикладные возможности, сохраняя линейный характер.

4. Числовой пример и его решение

Для иллюстрации рассмотрим условный пример. Земельный фонд хозяйства состоит из трёх массивов, различающихся по баллу бонитета, общей площадью 750 га. Землю требуется распределить между четырьмя видами использования (озимая пшеница, сахарная свёкла, подсолнечник, кормовые травы) с заданными потребностями. Исходные данные — удельный чистый доход cᵢⱼ (тыс. руб./га), площади массивов aᵢ и потребности bⱼ — приведены в таблице 1.

Таблица 1 — Исходные данные задачи

Массив / культура	Озимая пшеница	Сахарная свёкла	Подсол-нечник	Кормовые травы	aᵢ, га
I (высокий бонитет)	32	58	40	18	300
II (средний)	26	44	34	16	250
III (низкий)	19	28	25	14	200
bⱼ, га	220	180	150	200	750

Примечание: значения в теле таблицы — удельный чистый доход cᵢⱼ, тыс. руб./га.

Поскольку суммарная площадь массивов (300 + 250 + 200 = 750 га) равна суммарной потребности (220 + 180 + 150 + 200 = 750 га), задача сбалансирована и условие (5) выполняется. Модель (1)–(4) содержит 3 × 4 = 12 переменных, 3 ограничения по предложению и 4 по спросу.

Задача решена средствами линейного программирования (симплекс-метод; расчёт выполнен с помощью решателя; аналогичный результат даёт надстройка «Поиск решения» табличного процессора). Оптимальное распределение площадей приведено в таблице 2.

Таблица 2 — Оптимальное распределение площадей xᵢⱼ, га

Массив / культура	Озимая пшеница	Сахарная свёкла	Подсол-нечник	Кормовые травы	Итого
I (высокий бонитет)	0	180	120	0	300
II (средний)	220	0	30	0	250
III (низкий)	0	0	0	200	200
Итого	220	180	150	200	750

Максимальный суммарный чистый доход при оптимальном распределении составляет Z* = 24 780 тыс. руб. (около 24,78 млн руб.). Структура решения экономически содержательна: лучшие земли (массив I) отводятся под наиболее доходные культуры — сахарную свёклу и подсолнечник; земли среднего качества (массив II) заняты преимущественно озимой пшеницей; худшие земли (массив III) используются под кормовые травы, наименее требовательные к качеству почв. Это согласуется с известным землеустроительным принципом размещения наиболее интенсивных культур на наиболее плодородных участках.

5. Анализ результатов

Для оценки эффекта оптимизации сопоставим оптимальное решение с «наивным» вариантом, при котором каждая культура размещается на массивах пропорционально их площади (без учёта различий в доходности). Суммарный чистый доход такого распределения составляет 22 351 тыс. руб. Таким образом, оптимизация средствами линейного программирования обеспечивает прирост чистого дохода на 2 429 тыс. руб., или около 10,9 %, причём этот эффект достигается исключительно за счёт рационального размещения, без дополнительных капитальных вложений и привлечения дополнительных ресурсов.

Полученный результат подтверждает целесообразность применения линейного программирования в задачах перераспределения земель. Вместе с тем достоверность модельных решений напрямую зависит от качества исходных данных — прежде всего значений удельного чистого дохода cᵢⱼ, опирающихся на сведения о бонитете почв, урожайности, ценах и затратах. Поэтому корректная параметризация модели требует надёжного информационного и статистического обеспечения, что составляет самостоятельную задачу землеустройства.

Рассмотренная модель допускает развитие в нескольких направлениях: введение дополнительных агроэкологических и севооборотных ограничений; переход к многокритериальной постановке (одновременный учёт экономических и природоохранных критериев); учёт неопределённости исходных данных средствами стохастического программирования. Эти расширения сохраняют базовую структуру задачи и не выходят за рамки методологии математического программирования.

Заключение

Проведённое исследование показывает, что методы линейного программирования являются эффективным инструментом решения задач перераспределения земельных ресурсов. Формализация задачи в виде сбалансированной транспортной модели позволяет в строгой постановке отыскивать распределение площадей, оптимальное по критерию максимума суммарного чистого дохода.

На условном числовом примере получено оптимальное распределение земель между видами использования и установлено, что по сравнению с пропорциональным размещением оптимизация обеспечивает прирост чистого дохода около 10,9 % без дополнительных затрат. Полученные результаты подтверждают практическую значимость экономико-математического моделирования в землеустройстве и указывают на ключевую роль качественного информационного обеспечения при параметризации моделей.