РЕШЕНИЕ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ПРЕДМЕТНЫХ НАВЫКОВ

В современном мире обучение математике, направленное на воспитание грамотного специалиста, выходит далеко за рамки простого усвоения теоретических знаний, математических законов и стандартных алгоритмов. Педагог всегда должен ориентироваться на развитие у обучающихся способностей для применения полученных навыков в различных ситуациях. Для реализации данной задачи олимпиадная математика выступает мощным приемом для тренировки обучающихся, становится хорошим средством для оттачивания и совершенствования своих умений [9].

Олимпиадные задачи отличаются от заданий, представленных в школьных учебниках. Большинство стандартных упражнений направлены на закрепление школьных знаний и не предполагают реализацию исследовательского и творческого начала обучающихся.  Математика олимпиадного уровня требует от школьников глубокого понимания и четкого представления законов математического мира. Она требует умения проводить анализ, синтезировать данные, выдвигать гипотезы. Часто задания математических олимпиады проверяют не столько усвоение знаний предмета, сколько умение выстроить логические рассуждения [2].

В связи с этим можно выделить ряд противоречий:

1. Целевое противоречие. Между требованиями федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) к развитию предметных навыков (анализ, синтез, моделирование) и фактическим уровнем их формирования у учащихся 5-11 классов, что требует новой методики систематического развития через олимпиадные задачи.

2. Учебно-методическое противоречие. Между наличием банка олимпиадных задач и отсутствием методической системы их использования для целенаправленного формирования навыков (нет типологии, рубрик оценки, поурочных планов).

3. Практическое противоречие. Между успешностью олимпиадников (топ-10% класса) и массовым уровнем подготовки (остальные 90% не развивают навыки системно), что требует методики, доступной всем учащимся 5-11 классов.

Указанные противоречия привели к необходимости разработки методики использования олимпиадных задач как системного инструмента развития предметных навыков учащихся 5-11 классов, обеспечивающего переход от разрозненной практики к целенаправленному педагогическому процессу, что стало целью данной статьи.

Любое участие в конкурсных программах стимулирует познавательную активность обучающихся, здесь они попадают в ситуацию «интеллектуального вызова». Не последнюю роль играет психологическая подготовленность участников. Важным для успеха оказывается умение работать в условиях ограниченного времени [4; 6].

Одной из основных задач олимпиады является отбор одаренных детей. Нередко учебные заведения по результатам таких испытаний осуществляют поиск талантливых, подающих надежды участников. Различными способами ведущие ВУЗы страны готовы поддерживать интерес обучающихся к точным наукам [2; 8].

Воспитывать интерес к точным наукам, привлекать школьников к математическим конкурсам и олимпиадам разумно с младших классов. Вовлекать учащихся начальной школы в соревновательный процесс можно в рамках уроков. Подбор нестандартных, ярких, запоминающихся задачек, где от детей требуется проявление смекалки, заставляет их применять отточенные навыки в нестандартной ситуации, и подогревает интерес юных математиков.

Важно помнить, что решение олимпиадных задач – не самоцель, а эффективный инструмент формирования качественных предметных компетенций и средство воспитания будущих исследователей. Он позволяет сформировать четкий стиль мышления, выработать стратегии работы со сложными задачами [7].

Методика применения олимпиадных задач в практике школьников представляет собой системный педагогический процесс, где олимпиадные задачи интегрируются в учебный план 5-11 классов как регулярный инструмент (2-3 задачи в неделю) с четкой типологией по навыкам: аналитические (алгебраизация объектов), геометрические (рациональность построения объектов), доказательные (обоснование решения).

Этапы реализации методики представляются в следующей последовательности: диагностика (начало четверти) – тестирование базового уровня (на понимание алгоритмов решения задач 70% заданий, на анализ – 30%); решение 2-3 задач в неделю с поэтапным решением: 1) выделение данных, 2) построение модели, 3) проверка, 4) анализ ошибки; контроль (конец четверти) – самостоятельное решение олимпиадных задач с оценкой: не за ответ, а за процесс (модель +25%, логика +30%, обобщение +25%, самоконтроль +20%).

При этом существует ключевой переход: от спорадических кружков к урочным системам: каждое задание связано с темой параграфа (проценты → прямоугольник, рациональность → геометрия), обеспечивая накопительный эффект (рост с 30% до 70% за год). В качестве инструментов: банк из 50 задач с методическими картами, еженедельные разборы ошибок, портфолио решений. Результат – автоматизм предметных навыков вместо механического вычисления.

Решение олимпиадных заданий способствует овладению такими навыками как расчленение сложной задачи на более простые компоненты, переход от частных случаев к общим закономерностям, поиск нескольких способов решения одного и того же вопроса.

Рассмотрим примеры решения таких задач.

Задача 1. Одну сторону прямоугольника (ширину) увеличили на n %, а другую (длину) – на m % ( m и n – положительные числа). а) На сколько процентов площадь нового прямоугольника больше площади исходного? б) Мог ли при этом периметр увеличиться более, чем на n %?

Ответ: 

Решение:

а) Пусть a - ширина, b - длина исходного прямоугольника. Тогда стороны нового прямоугольника равны

что составляет

от площади исходного прямоугольника.

б) От противного: пусть периметр нового прямоугольника стал на x% (где x>n) больше исходного периметра P. Тогда

По предположению противного в левой части полученного равенства стоит отрицательное число, а в правой – положительное. Противоречие.

Данная задача требует перехода от вербального описания («увеличили на n %») к алгебраической модели, развивает моделирование реальных изменений через алгебру, понимание нелинейности процентных изменений и сравнительный анализ величин – базовые компетенции олимпиадного уровня (развитие навыка выделения главного члена (m+n)% и поправочного mn/10000, понимание, что процент к проценту дает процент от процента).

Задача 2. Дан прямоугольный треугольник, у которого численные значения периметра и площади – числа рациональные. Обязательно ли а) длина гипотенузы – рациональное число? б) длина биссектрисы прямого угла – иррациональное число?

Ответ: а) обязательно; б) обязательно.

Решение:

а) Пусть P и S – периметр и площадь, соответственно, данного треугольника ABC с прямым углом С, AC=b, CB=a (Рисунок 1). Тогда  Из формулы для радиуса вписанной окружности  и условий задачи следует рациональность числа r . С другой стороны, в прямоугольном треугольнике  Отсюда – рациональное число.

Рисунок 1. Задача 2

 

б) Пусть CD = l – биссектриса прямого угла. В силу пункта а) число a+b=P-c рациональное. Поскольку ∠ACD=∠BCD=45°, то:

Если предположить, что l – число рациональное, то S будет иррациональным числом, что противоречит условию. Значит, длина биссектрисы прямого угла – иррациональное число [5].

Задача требует перехода от конкретных чисел к общим рациональным P и S, формируя умения работать с абстрактными рациональными ограничениями, а не конкретными значениями – ключ к олимпиадным задачам высокого уровня. Задача формирует комбинаторное мышление, интуицию рациональности и работу с параметрами – фундаментальные навыки для геометрических олимпиад типа Всеросса.

Таким образом, важным условием является преемственность. Эффективное развитие предметных навыков невозможно без системного подхода. Как уже отмечалось, развитие нестандартного мышления должно начинаться еще в начальной школе, где закладывается база для дальнейшего изучения логических основ. В среднем и старшем звеньях акцент смещается на углубленное изучение тем, которые в школьной программе представлены поверхностно (теория чисел, комбинаторика, инварианты). Педагогическая практика показывает, что элементы подготовки к олимпиадам следует включать в учебный процесс. Как часто отмечается в научных трудах, использование методов олимпиадных заданий на уроках позволяет «оживить» стандартный материал и повысить мотивацию школьников.