МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЛЯ ОЦЕНКИ И ПРОГНОЗА ВВП РФ

Математическое моделирование временных рядов является важным инструментом анализа социально-экономических процессов. Оно позволяет выявлять закономерности изменения показателей во времени, а также осуществлять их прогнозирование.

Рассмотрим временной ряд валового внутреннего продукта (ВВП) Российской Федерации за период 2011–2025 гг.

В таблице 1 приведены фактические значения ВВП Российской Федерации за 2011–2025 гг., отражающие общий рост показателя во времени.

Таблица 1.

Фактические значения ВВП РФ (2011–2025 гг.)

Год	ВВП, млрд руб.
2011	60 114
2012	68 103
2013	72 986
2014	79 030
2015	83 087
2016	85 616
2017	918 43
2018	103 861
2019	109 608
2020	107 658
2021	134 728
2022	157 001
2023	174 266
2024	202 320
2025	213 516

Данные взяты с сайта www.rosstat.gov.ru[5].

Также стоит отметить, что в формулах будет использована переменная t, которая равна порядковому номеру года. То есть t = 1 для 2011 года, t = 2 для 2012 года и так далее.

Линейная модель.

Линейная модель имеет вид:

                                                                                                   (1)

где

𝑎 и b — некоторые константы.

Вычислим же их с помощью регрессионного анализа [1]:

                                                                                         (2)

                                                                                              (3)

И получим следующие значения: a = 10407,750714, а b = 32987,247619.

Подставляем полученные коэффициенты в уравнение:

                                                                       (4)

Гиперболическая модель.

Гиперболическая модель имеет вид:

                                                                                                 (5)

где a и b — некоторые константы.

Будем вычислять с помощью регрессионного анализа [1].

Сделаем замену переменной:

                                                                                                       (6)

Найдём b:

                                                                                      (7)

И найдём a:

                                                                                            (8)

И после вычислений получаем следующее: a = 142419.995213, b = -142419.995213. Подставляем и получаем:

                                                              (9)

Показательная модель.

Показательная модель имеет вид:

                                                           (10)

И снова регресионный анализ [1].

Логарифмирование:

                                                                        (11)

Обозначим:

                                                                                          (12)

Коэффициент b:

                                                                              (13)

Вычислим ln A:

                                                                                 (14)

Найдём A:

                                                                                        (15)

Вычисления привели к следующему: b = 0,08781302621, A = 0,08781302621.

Подстановка:

                                                             (16)

Модель Перла–Рида.

Модель Перла–Рида имеет вид:

                                                                       (17)

Вычислим методом наименьших квадратов [4].

Критерий подбора параметров:

                                                         (18)

Результаты вычислений: K = 9999999,98, a = 205,298303, b = 0,098760644.

Подставляем:

                                                                   (19)

Модель Гомперца.

Она имеет вид:

                                                                                       (20)

Используем регресионный анализ [2].

Параметры K, a, b также находятся численно из условия:

                                                              (21)

В результате подбора были получены следующие значения констант: K = 9999999,98, a = 205,298303, b = 0,098760644.

                                                                      (22)

Таблица с результатами вычислений всех упомянутых математических моделей.

Таблица 2.

Таблица с ВВП по годам и значениями моделей

Год	Линейная	Гиперболическая	Показательная	Перла-Рида	Гомперца
2011	43 395,0	24 115,1	58 204,5	53 478,2	52 871,1
2012	53 802,7	83 267,6	63 546,7	58 996,6	58 552,1
2013	64 210,5	102 985,1	69 379,3	65 080,8	64 803,2
2014	74 618,3	112 843,9	75 747,2	71 787,8	71 677,3
2015	85 026,0	118 759,1	82 699,6	79 180,5	79 232,0
2016	95 433,8	122 702,6	90 290,1	87 327,8	87 529,5
2017	105 841,5	125 519,4	98 577,2	96 305,3	96 637,3
2018	116 249,3	127 632,0	107 625,0	106 195,9	106 628,5
2019	126 657,0	129 275,1	117 503,3	117 090,1	117 582,2
2020	137 064,8	130 589,6	128 288,2	129 087,4	129 584,0
2021	147 472,5	131 665,1	140 062,9	142 296,3	142 726,2
2022	157 880,3	132 561,4	152 918,5	156 835,3	157 108,9
2023	168 288,0	133 319,7	166 953,9	172 833,8	172 839,8
2024	178 695,8	133 969,8	182 277,6	190 432,6	190 035,3
2025	189 103,5	134 533,1	199 007,7	209 785,2	208 820,8

 

График с фактическими значениями ВВП в период с 2011 по 2025 годы и моделями, а также прогноз на последующие 5 лет.

График 1. ВВП РФ 2011-2025 годы и прогноз на 5 лет

Заключение.

Проведённое моделирование показало, что не все рассмотренные функции одинаково хорошо описывают динамику ВВП Российской Федерации.

Гиперболическая модель оказалась наименее подходящей, поскольку она слишком быстро выходит на предельное значение и существенно отклоняется от фактических данных. Поэтому использовать её для описания и прогнозирования данного временного ряда нецелесообразно.

Линейная модель удовлетворительно отражает общий тренд роста ВВП, однако не учитывает ускорение в последние годы, вследствие чего её точность ограничена.

Показательная модель лучше описывает возрастающий характер динамики и является более подходящей по сравнению с линейной и гиперболической моделями.

Модели Перла–Рида и Гомперца показали наилучшее согласование с фактическими данными, так как позволяют учитывать нелинейный рост и возможное замедление в перспективе. Среди всех рассмотренных моделей именно они являются наиболее адекватными для описания исследуемого временного ряда.

Таким образом, для анализа и прогнозирования ВВП РФ наиболее целесообразно использовать модель Перла–Рида и модель Гомперца, тогда как гиперболическая модель для данной задачи не подходит, а линейная и показательная модели могут рассматриваться как более простые приближённые варианты.