МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕТЕРОГЕННЫХ ЗАДАЧ МЕЖДУ СОТРУДНИКАМИ БАНКА С РАЗНОЙ КОМПЕТЕНЦИЕЙ

ВВЕДЕНИЕ

В условиях высокой конкуренции на финансовом рынке операционная эффективность становится ключевым фактором устойчивости банков. Бэк-офис, как центр обработки ключевых банковских продуктов и операций при неправильном распределении нагрузки может стать узким местом системы, где потери производительности напрямую влияют на скорость обслуживания клиентов и величину операционных расходов.

На практике распределение входящих задач (заявка на ипотеку, жалоба клиента, проверка AML) между сотрудниками бэк-офиса осуществляется менеджерами вручную или с использованием примитивных алгоритмов, например, любой свободный исполнитель. Исходя из того, что каждый сотрудник обладает определенным набором компетенций, то необходимо найти оптимальное распределение массива разнородных задач, которое минимизирует время их выполнения при соблюдении двух условий: отсутствие перегрузки высокопроизводительных сотрудников и соблюдение матрицы компетенций.

Целью статьи является проведение исследования, позволяющего формализовать проблему распределения задач в бэк-офисе банка как задачу математической оптимизации.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Классические подходы к управлению операциями в сервисном секторе, основанные на методологии Erlang C и маршрутизации на основе навыков (Skill-Based Routing – SBR), демонстрируют ограниченную применимость за пределами колл-центров. В то время как эти методы эффективны для управления короткими однородными операциями в реальном времени, задача распределения в бэк-офисе характеризуется принципиально иной природой. Обработка сложных заявок, таких как ипотечные или AML-проверки, представляет собой протяженные во времени и гетерогенные процессы, требующие не динамической маршрутизации, а тактического пакетного планирования на фиксированный горизонт [2]. Данное различие обуславливает пробел в существующих исследованиях и необходимость новой формализации. С математической точки зрения, базовые модели, такие как задача о назначениях или упаковки в контейнеры, служат теоретическим фундаментом, однако наиболее адекватной основой для решения поставленной проблемы выступает Обобщенная задача о назначениях (GAP), обобщающая эти классические постановки за счет учета ограничений на производительность и компетенции исполнителей [5].

Рассматривается система, состоящая из множества I поступающих задач и множества J сотрудников. Процесс распределения задач формализуется в рамках статической детерминированной модели со следующими допущениями:

1. Модель является статической – это значит, что распределение производится для фиксированного пакета задач на весь плановый период, например, один рабочий день.
2. Все параметры модели, включая время выполнения задач и набор требуемых навыков, являются априори известными и детерминированными величинами.
3. Выполнение назначенной задачи не может быть прервано и передано другому сотруднику.

В качестве целевой функции выбрана максимизация суммарного приоритета выполненных задач. Данный критерий позволяет оптимизировать общую ценность выполненной работы в условиях, когда ресурсов может быть недостаточно для выполнения всего объема задач.

                                                                                      (1)

где

i∈I={1,2,...,n} – множество задач;

j∈J={1,2,...,m} – множество сотрудников;

k∈K={1,2,...,l} – множество компетенций;

w_i – вес (приоритет) задачи i;

x_ij – бинарная переменная, равная 1, если задача i назначается сотруднику j, и 0 иначе.

Ограничения модели описывают следующие условия:

1. Ограничение на назначение задач. Каждая задача может быть назначена не более чем одному сотруднику, что допускает возможность невыполнения части задач при дефиците ресурсов.

                                                                                                 (2)

2. Ограничение на загрузку сотрудников. Суммарное время задач, назначенных сотруднику, не должно превышать его доступного фонда рабочего времени.

                                                                                          (3)

где

p_ij – прогнозируемое время выполнения задачи i сотрудником j;

A_j – доступный фонд рабочего времени сотрудника j на плановый период.

3. Ограничение по компетенциям. Назначение задачи i сотруднику j допустимо только в том случае, если сотрудник обладает всеми компетенциями, требуемыми для данной задачи. Данное условие формализуется следующим ограничением:

                                                                           (4)

где

R_ik – бинарный параметр, равный 1, если для выполнения задачи i требуется компетенция k, и 0 иначе.

S_jk – бинарный параметр, равный 1, если сотрудник j обладает компетенцией k, и 0 иначе.

Если задача i требует компетенции k(R_ij=1), а сотрудник jей не обладает (S_ik=0), переменная x_ji вынуждена принимать значение 0.

4. Ограничение на область определения переменных:

                                                                            (5)

АНАЛИЗ МОДЕЛИ

Предложенная математическая модель, представленная целевой формулой 1 и системой ограничений, представленной формулами 2-5, формально классифицируется как задача бинарного целочисленного линейного программирования (Binary Integer Linear Programming, BILP) [1], являющаяся частным случаем задач смешанно-целочисленного линейного программирования (Mixed-Integer Linear Programming, MILP). Критерий классификации – линейный характер целевой функции и всех ограничений относительно переменных решения x_ij, которые принимают исключительно целочисленные, в данном случае, бинарные, значения.

Разработанная модель сводится к Обобщенной задаче о назначениях (Generalized Assignment Problem, GAP). В канонической постановке GAP заключается в назначении множества задач на множество ограниченных по ресурсу исполнителей с минимизацией стоимости, где каждая задача должна быть выполнена ровно одним исполнителем. Представленная модель является обобщением GAP, учитывающим дополнительные ограничения на соответствие компетенций и допускающую невыполнение части задач согласно формуле 2 [4].

Известно, что обобщенная задача о назначениях принадлежит к классу NP-трудных задач. Этот факт имеет фундаментальное значение для данного исследования. NP-трудность означает, что в худшем случае время вычисления оптимального решения для данной модели растет экспоненциально с увеличением размерности задачи (количества задач Iи сотрудников J). Следовательно, для реальных практических размерностей, например, 1000 задач и 100 сотрудников, применение алгоритмов точной оптимизации для нахождения гарантированно оптимального решения становится вычислительно неосуществимым за приемлемое время. Установленный факт NP-трудности задачи является ключевым обоснованием для дальнейших исследований. Он доказывает необходимость разработки и применения приближенных (эвристических и метаэвристических) алгоритмов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе была разработана и формализована математическая модель оптимального распределения гетерогенных задач среди сотрудников банковского бэк-офиса. Ключевыми особенностями модели являются: явный учет пакетного характера планирования, гетерогенности задач по времени выполнения и приоритету, ограниченного фонда рабочего времени сотрудников, а также матрицы компетенций, определяющей допустимость назначения.

Предложенная модель служит теоретическим фундаментом для создания систем поддержки принятия решений (Decision Support System, DSS), предназначенных для автоматизации и оптимизации управления персоналом в операционных подразделениях банка. Внедрение такой системы позволит повысить общую производительность, обеспечить выполнение более приоритетных задач в условиях ограниченных ресурсов и повысить прозрачность процессов планирования.