РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД АППРОКМИСАЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОРОВОДНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. МЕТОД ПРОГОНКИ

РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД АППРОКМИСАЦИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОРОВОДНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. МЕТОД ПРОГОНКИ

Авторы публикации

Рубрика

Математика

Журнал

Журнал «Научный лидер» выпуск # 40 (42), декабрь ‘21

Дата публикации 28.11.2021

Поделиться

В данной статье будет рассматриваться решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения теплопроводности второго порядка методом прогонки с помощью компьютерной программы Mathlab.

    Исследование процессов теплопроводности всегда играло важную роль в развитии технических и естественных наук. Самое интенсивное изучение данных процессов началось в конце девятнадцатого и в начале двадцатого веков из-за возрастающей потребности в теплоэнергетике. В течении следующих лет до наших дней появлялись новые задачи теплопроводности, которые выдвигали требования полноты и надежности - прогнозов теории. Теоретическое исследование процессов теплопроводности в настоящее время в значительной степени базируется на их математическом моделировании с использованием ЭВМ. Это стало возможным благодаря значительному прогрессу в развитии вычислительных методов решения задач для уравнений в частных производных и увеличению мощности современных вычислительных машин.  

     Большинство задач теплопроводности приводит к линейным и нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных, то есть уравнениям математической физики. Самым универсальным и весьма полезным является метод конечных разностей. По другому его называют методом сеток. Он дает возможность сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем алгебраических уравнений.

     В данной статье мы будем аппроксимировать первую краевую задачу обыкновенного дифференциального уравнения теплопроводности второго порядка. Запишем алгоритм решения разностной схемы методом прогонки.

    Поскольку мы будем рассматривать в данной статье лишь простейшую схему для уравнения теплопроводности второго порядка, то при решении разностной задачи используется лишь алгоритм одномерной прогонки.

 

   Запишем краевую задачу для уравнения теплопроводности:

 

                           (1)

 

   Для того чтобы составить разностную схему, приближенно описывающую данное дифференциальное уравнение, нужно сделать два шага:

  1. Необходимо заменить область непрерывного изменения аргумента областью дискретного его изменения;
  2. Необходимо заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором, а также сформулировать разностный аналог для краевых условий и для начальных данных. [1]

 Выбрав одномерную сетку

 

и простейший трехточечный шаблон, получим разностную задачу

                   

                                                

                                                 или                                                                (2)

 

       

   Производим замену      в уравнение (2):

 

                                 (3)

 

с краевыми условиями

       .                                                (4)

 Здесь        – заданные числа.

    После составления разностной задачи, запишем алгоритм решения разностного уравнения.

    Будем искать решение уравнения в том же виде (2), в котором заданы краевые условия (3), т. е. в виде

                                         (5)

 

 где   и   – неизвестные пока коэффициенты

   Подставляя (5) и

                              

                               

 

а уравнение (3), получим

+ =0       (6)

 

   Отсюда видно, что уравнение (3) будет выполнено, если потребовать

 

=0,            =0.          (7)

 

  Тем самым мы получаем рекуррентные соотношения для определения прогоночных коэффициентов    и   :

 

 

       (8)

             

 

 Величины    и   находим из (5) краевого условия (4) при :

 

,  

 

  Значение , необходимое для начала счета по формулам (5), получаем из (5)  и краевого условия при :

 

 

                                                                 (9)

 

 

  Итак, мы можем получить точное решение краевой задачи (3) – (4) при помощи следующего алгоритма:

 

 

 

 

,                                                                                         (10)

,

 

 

 

   Перед решением надо проверить разностную схему на устойчивость. Прогоночные формулы (10) называются устойчивыми, если коэффициенты  αi  не превосходят по модулю единицу. В этом случае ошибки округления, возникающие в процессе счета по рекуррентной формуле (4), не будут возрастать.

 

    Выпишем условия устойчивости данной разностной схемы:

 

     Ai>0,         Bi>0 ,      CiAi+Bi,     0≤ρα<1,    α =1, 2                   (10)   

 

Рисунок 1-Алгоритм решения разностного уравнения методом прогонки на языке программы Mathlab

 

Рассмотрев алгоритм аппроксимации первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения теплопроводности второго порядка с помощью прогоночного метода и алгоритм проверки разностной схемы на устойчивость, мы введём числовые значения параметров вместо латинских букв, чтобы наглядно показать решение данной задачи с помощью компьютерной программы Mathlab.

 

Рисунок 2-Полученные значения 

При анализе полученных значений   , мы можем сказать, что разность между полученных чисел    при каждом шаге уменьшается, следует, что разностная схема построена правильно, и она устойчивая.

Список литературы

  1. Введение в теорию разностных схем. А. А. Самарский, изд. «Наука», М., 1971.
  2. Яненко Н.Н., Демидов Г.В. О сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами, ДАН СССР 139, № 6 (1961), 1322—1324.
  3. Яненко Н.Н., Сучков В.А., Погодин Ю.Я. Метод слабой аппроксимации как конструктивный метод построения решения задачи Коши, Сб. «Некоторые вопросы прикл. и вычисл. матем.», Новосибирск, 1966, 60— 83.
  4. О разностном решении уравнения теплопроводности в криволинейных координатах, Д АН СС СР 128, № 5 (1959), 903— 905.
Справка о публикации и препринт статьи
предоставляется сразу после оплаты
Прием материалов
c по
Остался последний день
Размещение электронной версии
Загрузка материалов в elibrary