НАГЛЯДНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

В данной статье разберемся со следующей задачей.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно четыре различных решения [1].

Решение:

Первое уравнение системы преобразуем к виду (x-2(a+1))²+(y-a)²=1, которое представляет собой уравнение окружности ω с центром в точке O(2(a+1);a) и радиусом 1. Второе уравнение задает пару пересекающихся прямых y=x и y=-x в точке O(0;0) [2].

Геометрически возможны три случая:

1. Точка O(0;0) находится внутри круга, ограниченного окружностью ω, т.е. при |O,O1|<1;
2. Точка O(0;0) находится на окружности ω, т.е. при |O,O1|=1;
3. Точка O(0;0) находится вне окружности ω, т.е. при |O,O1|>1.

В первом случае очевидно будет 4 решения.

Рисунок 1. Первый случай

Во втором случае будет не более 3 решений.

Рисунок 2. Второй случай

В третьем случае система имеет 4 решения тогда и только тогда, когда окружность ω пересекается с каждой из прямых y=x и y=-x в различных точках.

Рисунок 3. Третий случай

Рассмотрим 1 случай, т.е. |O,O1|<1,

-1<a<-0,6 – данное условие, когда точка O(0;0) находится внутри ωи наша система имеет 4 решения. Нужно заметить, что при a>-0,6 и a<-1 точка O(0;0) находится вне окружности ω.

Рассмотрим 3 случай, т.е. |O,O1|>1.

Рисунок 4. Координатная прямая

Решение данного случая: 

Получим общий ответ рассмотренной задачи, объединив решения 1 и 3 случаев:

Замечание. Аналогичную задачу с радиусом, зависимым от параметра a, также можно решить рассмотренным нами наглядным методом. Стоит отметить, что при данных условиях необходимо учитывать случай, когда окружность будет вырождаться в точку, т.е. радиус будет равняться нулю, а следовательно этот случай даст не более одного решения [3].

Для многих современных детей труднодоступным является решение задач аналитическим методом, у таких учеников развито наглядное представление решения задач. Наша работа направлена в большей степени на школьников, предпочитающих такой «визуальный» способ. Статья рекомендована для изучения всем, интересующимся задачами с параметром.